题目
6 10分 极限的计算 函数求极限lim_(xto+infty)x^2[sqrt[3](x^3+1)-sqrt[3](x^3-1)]=
6 10分 极限的计算 函数求极限
$\lim_{x\to+\infty}x^{2}[\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-1}]=$
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to+\infty}x^{2}[\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-1}]$，我们可以使用立方根的差的公式。首先，设 $a = \sqrt[3]{x^3 + 1}$ 和 $b = \sqrt[3]{x^3 - 1}$。则原极限可以写为：
\[
\lim_{x\to+\infty}x^{2}(a - b)
\]
我们知道 $a^3 = x^3 + 1$ 和 $b^3 = x^3 - 1$，所以 $a^3 - b^3 = (x^3 + 1) - (x^3 - 1) = 2$。利用立方差公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，我们得到：
\[
2 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
因此，我们可以表示 $a - b$ 为：
\[
a - b = \frac{2}{a^2 + ab + b^2}
\]
代入原极限，我们得到：
\[
\lim_{x\to+\infty}x^{2}(a - b) = \lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{a^2 + ab + b^2}
\]
接下来，我们需要分析 $a^2 + ab + b^2$ 当 $x \to +\infty$ 时的行为。由于 $a = \sqrt[3]{x^3 + 1}$ 和 $b = \sqrt[3]{x^3 - 1}$，当 $x \to +\infty$ 时， $a \approx x$ 和 $b \approx x$。因此， $a^2 \approx x^2$， $ab \approx x^2$，和 $b^2 \approx x^2$。所以：
\[
a^2 + ab + b^2 \approx x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2
\]
代入极限表达式，我们得到：
\[
\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{a^2 + ab + b^2} \approx \lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{3x^2} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]
为了更严格地证明，我们可以使用泰勒展开。当 $x \to +\infty$ 时，我们可以将 $\sqrt[3]{x^3 + 1}$ 和 $\sqrt[3]{x^3 - 1}$ 展开为：
\[
\sqrt[3]{x^3 + 1} = x \left(1 + \frac{1}{x^3}\right)^{1/3} \approx x \left(1 + \frac{1}{3x^3}\right) = x + \frac{1}{3x^2}
\]
\[
\sqrt[3]{x^3 - 1} = x \left(1 - \frac{1}{x^3}\right)^{1/3} \approx x \left(1 - \frac{1}{3x^3}\right) = x - \frac{1}{3x^2}
\]
因此：
\[
\sqrt[3]{x^3 + 1} - \sqrt[3]{x^3 - 1} \approx \left(x + \frac{1}{3x^2}\right) - \left(x - \frac{1}{3x^2}\right) = \frac{2}{3x^2}
\]
代入原极限，我们得到：
\[
\lim_{x\to+\infty}x^{2}[\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-1}] \approx \lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{3x^2} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]
Thus, the answer is:
\[
\boxed{\frac{2}{3}}
\]
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是通过立方差公式对原式进行变形，然后分析变形后式子在$x\to +\infty$时的极限情况，也可以使用泰勒展开来更严格地求解。
- 利用立方差公式变形：
- 设$a = \sqrt[3]{x^3 + 1}$，$b = \sqrt[3]{x^3 - 1}$，则原极限$\lim_{x\to+\infty}x^{2}[\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-1}]$可写为$\lim_{x\to+\infty}x^{2}(a - b)$。
- 因为$a^3 = x^3 + 1$，$b^3 = x^3 - 1$，所以$a^3 - b^3 = (x^3 + 1) - (x^3 - 1)=2$。
- 根据立方差公式$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，可得$2 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，进而$a - b = \frac{2}{a^2 + ab + b^2}$。
- 那么原极限变为$\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{a^2 + ab + b^2}$。
- 分析$a^2 + ab + b^2$在$x\to +\infty$时的情况：
- 当$x\to +\infty$时，$a = \sqrt[3]{x^3 + 1}\approx x$，$b = \sqrt[3]{x^3 - 1}\approx x$。
- 所以$a^2\approx x^2$，$ab\approx x^2$，$b^2\approx x^2$，则$a^2 + ab + b^2\approx x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$。
- 代入极限表达式可得$\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{a^2 + ab + b^2}\approx\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{3x^2}$。
- 计算极限：
- $\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
- 使用泰勒展开验证：
- 当$x\to +\infty$时，$\sqrt[3]{x^3 + 1}=x \left(1 + \frac{1}{x^3}\right)^{1/3}$，根据$(1 + t)^{\alpha}\approx 1+\alpha t$（$t\to 0$），这里$t = \frac{1}{x^3}$，$\alpha=\frac{1}{3}$，则$\sqrt[3]{x^3 + 1}\approx x \left(1 + \frac{1}{3x^3}\right)=x + \frac{1}{3x^2}$。
- 同理，$\sqrt[3]{x^3 - 1}=x \left(1 - \frac{1}{x^3}\right)^{1/3}\approx x \left(1 - \frac{1}{3x^3}\right)=x - \frac{1}{3x^2}$。
- 所以$\sqrt[3]{x^3 + 1} - \sqrt[3]{x^3 - 1}\approx \left(x + \frac{1}{3x^2}\right) - \left(x - \frac{1}{3x^2}\right)=\frac{2}{3x^2}$。
- 代入原极限$\lim_{x\to+\infty}x^{2}[\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-1}]\approx\lim_{x\to+\infty}x^{2} \cdot \frac{2}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。