题目
若X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)为来自总体X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)的简单随机样本,X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)为样本均值,则下列统计量服从标准正态分布的是( )A.X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)B.X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)C.X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)D.X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2)
若
为来自总体
的简单随机样本,
为样本均值,则下列统计量服从标准正态分布的是( )
为来自总体的简单随机样本,为样本均值,则下列统计量服从标准正态分布的是( )- A.
- B.
- C.
- D.
题目解答
答案
C. $\dfrac {\overline {X}-1}{2/\sqrt {n}}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 是来自总体 $N(1,2^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量。因此，$\overline{X} \sim N(1, \frac{2^2}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
为了使样本均值服从标准正态分布，需要将样本均值标准化。标准化后的统计量为 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差。对于本题，$\mu = 1$，$\sigma = 2$，因此标准化后的统计量为 $\frac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}}$。
步骤 3：验证选项
根据步骤 2 的标准化公式，选项 C 正确，因为 $\frac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布。其他选项不正确，因为它们的分母不正确或分子不正确。
由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 是来自总体 $N(1,2^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量。因此，$\overline{X} \sim N(1, \frac{2^2}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
为了使样本均值服从标准正态分布，需要将样本均值标准化。标准化后的统计量为 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差。对于本题，$\mu = 1$，$\sigma = 2$，因此标准化后的统计量为 $\frac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}}$。
步骤 3：验证选项
根据步骤 2 的标准化公式，选项 C 正确，因为 $\frac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布。其他选项不正确，因为它们的分母不正确或分子不正确。