题目
5.设f(x)二阶连续可导,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f'(x))(x)=-1, 则 () .-|||-(A)f(0)是f(x)的极小值 (B)f(0)是f (x)的极大值-|||-(C)(0,f(0))是曲线 y=f(x) 的拐点 (D) x=0 是f(x)的驻点但不是极值点
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $f'(0)$ 的值
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=-1$ ，根据极限的定义，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$f'(x)$ 趋近于 $0$。因此，$f'(0)=0$，即 $x=0$ 是 $f(x)$ 的驻点。
步骤 2：确定 $f''(0)$ 的值
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=-1$，根据洛必达法则，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f''(x)}{1}=-1$，因此 $f''(0)=-1$。
步骤 3：判断拐点
由于 $f''(0)=-1$，说明在 $x=0$ 处，$f(x)$ 的二阶导数从正变负或从负变正，因此 $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=-1$ ，根据极限的定义，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$f'(x)$ 趋近于 $0$。因此，$f'(0)=0$，即 $x=0$ 是 $f(x)$ 的驻点。
步骤 2：确定 $f''(0)$ 的值
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=-1$，根据洛必达法则，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f''(x)}{1}=-1$，因此 $f''(0)=-1$。
步骤 3：判断拐点
由于 $f''(0)=-1$，说明在 $x=0$ 处，$f(x)$ 的二阶导数从正变负或从负变正，因此 $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。