5 曲线 y=sqrt(x) 与 y=x^2 所围平面有界区域绕直线 y=x旋转一周所得旋转体的体积为_____.

将曲线 $ y = \sqrt{x} $ 和 $ y = x^2 $ 绕直线 $ y = x $ 旋转，交点为 $ (0,0) $ 和 $ (1,1) $。使用柱壳法，考虑小条从 $ x $ 到 $ x+dx $，高度为 $ \sqrt{x} - x^2 $，到直线 $ y = x $ 的距离为 $ \frac{x - y}{\sqrt{2}} $。
体积元素为：
$dV = 2\pi \cdot \frac{x - y}{\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{x} - x^2) \, dx$
积分得：
$V = \frac{\pi}{2} \int_0^1 \left[ (\sqrt{x} - x)^2 - (x^2 - x)^2 \right] dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{15}$
答案： $\boxed{\frac{\sqrt{2} \pi}{15}}$