根据函数极限的定义证明(1) lim_(x to 2)(3x+2)=8(2) lim_(x to 2)(x^2-4)/(x-2)=4(3) lim_(x to infty)(2x-1)/(x+1)=2(4) lim_(x to +infty)x(sqrt(x^2-4)-x)=-2

(1) 令 $f(x) = 3x + 2$，则 $|f(x) - 8| = |3x - 6| = 3|x - 2|$。取 $\delta = \frac{\epsilon}{3}$，当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时，$|f(x) - 8| < \epsilon$。
答案： $\lim_{x \to 2} (3x + 2) = 8$

(2) 令 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$（$x \neq 2$），则 $|f(x) - 4| = |x - 2|$。取 $\delta = \epsilon$，当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时，$|f(x) - 4| < \epsilon$。
答案： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$

(3) 令 $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$，则 $|f(x) - 2| = \frac{3}{|x + 1|}$。取 $X = \frac{3}{\epsilon}$，当 $|x| > X$ 时，$|f(x) - 2| < \epsilon$。
答案： $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x + 1} = 2$

(4) 令 $f(x) = x(\sqrt{x^2 - 4} - x) = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 - 4} + x}$，则 $|f(x) + 2| = \frac{8}{(\sqrt{x^2 - 4} + x)^2}$。取 $X = \sqrt{\frac{8}{\epsilon}}$，当 $x > X$ 时，$|f(x) + 2| < \epsilon$。
答案： $\lim_{x \to +\infty} x(\sqrt{x^2 - 4} - x) = -2$

$\boxed{\begin{array}{ll}(1) & 8 \$2) & 4 \$3) & 2 \$4) & -2 \\\end{array}}$