题目

公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在 1% 以下来设计的. 设男子身高 X 服从 mu=170 ((cm)), sigma=6 ((cm)) 的正态分布, 即 X sim N(170, 6^2), 问车门高度应如何确定? (参考数据: Phi(2.33)=0.99)

公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在 $1\%$ 以下来设计的. 设男子身高 $X$ 服从 $\mu=170\ (\text{cm})$, $\sigma=6\ (\text{cm})$ 的正态分布, 即 $X \sim N(170, 6^2)$, 问车门高度应如何确定? (参考数据: $\Phi(2.33)=0.99$)

题目解答

答案

我们的问题是：设计公共汽车车门高度，使得成年男子碰头的概率小于 **1%**。也就是说，车门高度 $ h $ 应该满足： $$ P(X > h) < 0.01 $$ 其中，男子身高 $ X \sim N(170, 6^2) $，即均值 $ \mu = 170 $ cm，标准差 $ \sigma = 6 $ cm。 --- ### 第一步：标准化 我们把 $ X $ 标准化为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $： $$ P(X > h) = P\left( \frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{h - 170}{6} \right) = P\left( Z > \frac{h - 170}{6} \right) $$ 我们希望这个概率小于 1%，即： $$ P\left( Z > \frac{h - 170}{6} \right) < 0.01 $$ 查标准正态分布表，我们知道： $$ \Phi(2.33) = 0.99 \Rightarrow P(Z < 2.33) = 0.99 \Rightarrow P(Z > 2.33) = 0.01 $$ 因此，为了使 $ P(Z > z) < 0.01 $，我们要求： $$ \frac{h - 170}{6} \geq 2.33 $$ --- ### 第二步：解不等式 $$ \frac{h - 170}{6} \geq 2.33 \Rightarrow h - 170 \geq 6 \times 2.33 = 13.98 \Rightarrow h \geq 170 + 13.98 = 183.98 $$ --- ### 最终答案： 车门高度应设计为 **至少 184 cm**，这样成年男子碰头的概率将小于 1%。 --- ### 答案： $$ \boxed{184} \text{cm} $$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的实际应用，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用，以及根据概率要求确定临界值。

解题核心思路：

  1. 问题转化：将车门高度问题转化为求身高超过该高度的概率不超过1%。
  2. 标准化处理：将正态分布变量转化为标准正态变量，利用已知的标准正态分布表查找临界值。
  3. 反推原始变量：通过标准化后的临界值反推出原始变量的临界值，即车门高度。

破题关键点：

  • 理解概率方向：明确需要满足 $P(X > h) \leq 0.01$，对应标准正态分布的右侧概率。
  • 正确使用参考数据：根据 $\Phi(2.33) = 0.99$，确定对应的临界值 $z = 2.33$。
  • 不等式方向：标准化后的不等式方向需与概率要求一致，确保解出的车门高度满足条件。

第一步：标准化处理

设车门高度为 $h$，要求 $P(X > h) \leq 0.01$。
将 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则：
$P(X > h) = P\left(Z > \frac{h - 170}{6}\right)$
需满足：
$P\left(Z > \frac{h - 170}{6}\right) \leq 0.01$

第二步：查找临界值

根据标准正态分布表，$\Phi(2.33) = 0.99$，即：
$P(Z < 2.33) = 0.99 \quad \Rightarrow \quad P(Z > 2.33) = 0.01$
因此，需满足：
$\frac{h - 170}{6} \geq 2.33$

第三步：解不等式求车门高度

解得：
$h - 170 \geq 6 \times 2.33 = 13.98 \quad \Rightarrow \quad h \geq 170 + 13.98 = 183.98$
由于车门高度通常取整数，故取 $h = 184$ cm。