从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：↑频率/组距-|||-0.033-|||-square -|||---|||-8 = 质量指-|||-0.002 .- 标-|||-o 165 175 185 205 205 215 2(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数¯¯¯x，σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：√150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)则p(μ-σ

考查要点：

1. 频率分布直方图的平均数与方差计算：利用各组中点值与频率计算样本平均数和方差。
2. 正态分布的概率计算：根据经验法则，结合标准差范围求概率。
3. 二项分布的期望：利用二项分布的期望公式计算期望值。

解题核心思路：

1. 平均数与方差：通过中点值与频率加权求和计算平均数，再利用各中点值与平均数的离差平方加权求和计算方差。
2. 正态分布应用：将区间转化为以均值为中心的标准差范围，直接应用经验概率。
3. 期望计算：将单件产品的概率推广到100件产品的二项分布，直接应用期望公式。

破题关键点：

• 正确识别各组中点值与频率（如170对应0.02，180对应0.09等）。
• 理解正态分布的经验法则（如$\mu \pm \sigma$对应概率0.6826）。
• 区分二项分布与正态分布的应用场景。

第（1）题

样本平均数：
$\bar{x} = \sum (\text{中点值} \times \text{频率})$
样本方差：
$s^2 = \sum [(\text{中点值} - \bar{x})^2 \times \text{频率}]$

计算步骤

1. 计算平均数：
   $\begin{aligned} \bar{x} &= 170 \times 0.02 + 180 \times 0.09 + 190 \times 0.22 + 200 \times 0.33 \\ &\quad + 210 \times 0.24 + 220 \times 0.08 + 230 \times 0.02 \\ &= 200 \end{aligned}$

2. 计算方差：
   $\begin{aligned} s^2 &= (-30)^2 \times 0.02 + (-20)^2 \times 0.09 + (-10)^2 \times 0.22 \\ &\quad + 0^2 \times 0.33 + 10^2 \times 0.24 + 20^2 \times 0.08 + 30^2 \times 0.02 \\ &= 150 \end{aligned}$

第（2）题

(i) 求概率$P(187.8 < Z < 212.2)$

关键转换：

• $\mu = 200$，$\sigma = \sqrt{150} \approx 12.2$
• 区间$187.8$到$212.2$对应$\mu \pm \sigma$（即$200 \pm 12.2$）。

经验法则：
$P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.6826$

(ii) 求$EX$

二项分布期望：

• 单件产品概率$p = 0.6826$，总件数$n = 100$。
• 期望公式：
  $EX = n \times p = 100 \times 0.6826 = 68.26$