2、单选 (10分) 2.lim_(xto0)(sin x-x)/(tan x^3)=（）A. -(1)/(6)B. (1)/(6)C. -(1)/(2)D. -(1)/(3)

本题考查的知识点是利用等价无穷小替换和洛必达法则求极限。解题思路是先判断极限类型，若为$\frac{0}{0}$型，可先尝试等价无穷小替换简化式子，若替换后仍无法求解，再使用洛必达法则进一步计算。

1. 判断极限类型：
   当$x\to0$时，$\sin x\to0$，$x\to0$，所以$\sin x - x\to0$；同时$\tan x^3\to0$，因此该极限是$\frac{0}{0}$型。
2. 等价无穷小替换：
   当$x\to0$时，$\tan x^3\sim x^3$，则原式可化为$\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$。
3. 使用洛必达法则：
   洛必达法则是指在一定条件下，对于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$，有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
   对$\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$使用洛必达法则，分别对分子分母求导：
   分子$(\sin x - x)^\prime=\cos x - 1$，分母$(x^3)^\prime = 3x^2$，则原式变为$\lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{3x^2}$。
4. 再次使用等价无穷小替换：
   当$x\to0$时，$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，则$\cos x - 1\sim-\frac{1}{2}x^2$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2}$。
5. 计算极限：
   $\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2}=-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$。