【例3】(2025年1,2,3)已知f(x)=int_(0)^xe^t^(2)sin tdt,g(x)=int_(0)^xe^t^(2)dtcdotsin^2x,则（） (A.)x=0是f(x)的极值点，也是g(x)的极值点. (B.)x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=g(x)的拐点. (C.)x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=f(x)的拐点. (D.)(0,0)是曲线y=f(x)的拐点，也是曲线y=g(x)的拐点. 【解1】f'(0)=0,f''(0)=1;g'(0)=0,g''(0)=0,g'''(0)=6; 【解2】f(x)=int_(0)^x[1+o(1)][t+o(t)]dt=(1)/(2)x^2+o(x^2)

为了确定正确答案，我们需要分析函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的性质。让我们从 $ f(x) $ 开始。 ### $ f(x) $ 的分析 函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} \sin t \, dt. \] 为了找到 $ f(x) $ 的临界点，我们需要计算一阶导数 $ f'(x) $： \[ f'(x) = e^{x^2} \sin x. \] 在 $ x = 0 $ 处评估 $ f'(x) $： \[ f'(0) = e^{0^2} \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0. \] 因此，$ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的临界点。 接下来，我们计算二阶导数 $ f''(x) $： \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \sin x \right) = e^{x^2} \cdot 2x \cdot \sin x + e^{x^2} \cos x = e^{x^2} (2x \sin x + \cos x). \] 在 $ x = 0 $ 处评估 $ f''(x) $： \[ f''(0) = e^{0^2} (2 \cdot 0 \cdot \sin 0 + \cos 0) = 1 \cdot (0 + 1) = 1. \] 由于 $ f''(0) > 0 $，$ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的局部最小值点。因此，$ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的极值点。 ### $ g(x) $ 的分析 函数 $ g(x) $ 定义为： \[ g(x) = \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \sin^2 x. \] 为了找到 $ g(x) $ 的临界点，我们需要计算一阶导数 $ g'(x) $： \[ g'(x) = \left( e^{x^2} \right) \sin^2 x + \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \cdot 2 \sin x \cos x. \] 在 $ x = 0 $ 处评估 $ g'(x) $： \[ g'(0) = e^{0^2} \sin^2 0 + \left( \int_{0}^{0} e^{t^2} \, dt \right) \cdot 2 \sin 0 \cos 0 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0. \] 因此，$ x = 0 $ 是 $ g(x) $ 的临界点。 接下来，我们计算二阶导数 $ g''(x) $： \[ g''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \sin^2 x + \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \cdot 2 \sin x \cos x \right). \] 在 $ x = 0 $ 处评估 $ g''(x) $： \[ g''(0) = 0. \] 由于 $ g''(0) = 0 $，我们需要计算三阶导数 $ g'''(x) $： \[ g'''(0) = 6. \] 由于 $ g'''(0) \neq 0 $，$ (0,0) $ 是曲线 $ y = g(x) $ 的拐点。 ### 结论 从分析中，我们得出结论： - $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的极值点。 - $ (0,0) $ 是曲线 $ y = g(x) $ 的拐点。 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]