题目

设二次型 f(x_1, x_2, x_3) = X^T AX = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3.(1) 求正交变换 X = QY 将 f(x_1, x_2, x_3) 化为标准形；(2) 求可逆矩阵 P，使得 P^T (A - aE)^2 P = E，其中 E 为 3 阶单位矩阵.

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = X^T AX = a\left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$. (1) 求正交变换 $X = QY$ 将 $f(x_1, x_2, x_3)$ 化为标准形； (2) 求可逆矩阵 $P$，使得 $P^T (A - aE)^2 P = E$，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.

题目解答

答案

(1) 二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) $ 的矩阵 $ A $ 为：
$A = \begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\1 & a & 1 \\1 & 1 & a\end{pmatrix}$
特征值为 $ \lambda_1 = a - 1 $，$ \lambda_2 = a - 1 $，$ \lambda_3 = a + 2 $。对应正交变换 $ X = QY $，其中 $ Q $ 由特征向量构成，将二次型化为标准形：
$f = (a - 1)y_1^2 + (a - 1)y_2^2 + (a + 2)y_3^2$

(2) 矩阵 $ P $ 满足 $ P^T (A - aE)^2 P = E $，其中 $ (A - aE)^2 $ 的特征值为 $ 1 $，$ 1 $，$ 4 $。取 $ P = QD $，其中 $ D = \text{diag}(1, 1, \frac{1}{2}) $，则：
$P = Q \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

答案：
(1) 正交变换 $ X = QY $，其中 $ Q $ 由 $ A $ 的正交特征向量构成，将二次型化为标准形 $ (a - 1)y_1^2 + (a - 1)y_2^2 + (a + 2)y_3^2 $。
(2) 可逆矩阵 $ P = Q \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $，其中 $ Q $ 为 $ A $ 的正交特征向量矩阵。

解析

考查要点：本题主要考查二次型的标准形求解及矩阵合同变换的应用。
解题思路：

  1. 第一问：通过求二次型矩阵的特征值与正交矩阵，将二次型化为标准形。
    • 关键点：确定二次型矩阵$A$，求其特征值与正交特征向量，构造正交矩阵$Q$。
  2. 第二问：利用矩阵合同变换，构造可逆矩阵$P$使得$P^T (A - aE)^2 P = E$。
    • 关键点：分析$(A - aE)^2$的特征值，通过调整特征值构造$P$。

第（1）题

步骤1：确定二次型矩阵$A$

二次型$f = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$对应的对称矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\1 & a & 1 \\1 & 1 & a\end{pmatrix}$

步骤2：求矩阵$A$的特征值

通过特征方程$|A - \lambda I| = 0$，结合矩阵对称性，可得特征值：

  • $\lambda_1 = a - 1$（二重根）
  • $\lambda_3 = a + 2$

步骤3：求正交矩阵$Q$

  • 特征向量：
    • 对于$\lambda = a - 1$，特征向量可取$[1, -1, 0]^T$和$[1, 1, -2]^T$，正交化后单位化。
    • 对于$\lambda = a + 2$，特征向量为$[1, 1, 1]^T$，单位化为$\frac{1}{\sqrt{3}}[1, 1, 1]^T$。
  • 构造$Q$：将上述单位正交特征向量按列排列。

步骤4：标准形

正交变换$X = QY$下，二次型化为：
$f = (a - 1)y_1^2 + (a - 1)y_2^2 + (a + 2)y_3^2$

第（2）题

步骤1：分析$(A - aE)^2$的特征值

  • $A - aE$的特征值为$-1, -1, 2$，故$(A - aE)^2$的特征值为$1, 1, 4$。

步骤2：构造矩阵$P$

  • 调整特征值：令$P = QD$，其中$D = \text{diag}(1, 1, \frac{1}{2})$，则：
    $P^T (A - aE)^2 P = D^{-1} (Q^T (A - aE)^2 Q) D = D^{-1} \cdot \text{diag}(1, 1, 4) \cdot D = E$