3— 12 按公式 V=π r2h 求圆柱体体积，若已知r 约为 2cm， h 约为 20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问 r 和 h 测量时误差应为多少?

考查要点：本题主要考查误差传播中的等作用原则在圆柱体积测量中的应用，涉及相对误差的分配计算。

解题核心思路：

1. 建立体积公式：圆柱体积公式为 $V = \pi r^2 h$。
2. 误差传播关系：体积的相对误差由半径和高度的相对误差共同引起，满足 $\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2 = \left(2\frac{\Delta r}{r}\right)^2 + \left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2$。
3. 等作用原则：将总相对误差的平方按相等比例分配给各变量的误差项，即 $\left(2\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = \left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2$。

破题关键点：

• 正确应用误差传播公式，明确各变量的灵敏度系数（半径为2，高度为1）。
• 按等作用原则分配误差，确保各变量误差项的平方和等于总误差平方。

1. 计算体积

根据公式 $V = \pi r^2 h$，代入 $r = 2\ \text{cm}$，$h = 20\ \text{cm}$：
$V = 3.14 \times 2^2 \times 20 = 251.2\ \text{cm}^3$

2. 确定体积相对误差

题目要求体积的相对误差为 $1\%$，即：
$\frac{\Delta V}{V} = 0.01$

3. 应用等作用原则分配误差

根据误差传播公式：
$\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2 = \left(2\frac{\Delta r}{r}\right)^2 + \left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2$
按等作用原则，各误差项的平方相等：
$\left(2\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = \left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2$

计算半径误差 $\Delta r$

$2\frac{\Delta r}{r} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\Delta V}{V} \implies \Delta r = \frac{r}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\Delta V}{V}$
代入数据：
$\Delta r = \frac{2}{2} \cdot \frac{0.01}{\sqrt{2}} \approx 0.007\ \text{cm}$

计算高度误差 $\Delta h$

$\frac{\Delta h}{h} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\Delta V}{V} \implies \Delta h = h \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\Delta V}{V}$
代入数据：
$\Delta h = 20 \cdot \frac{0.01}{\sqrt{2}} \approx 0.14\ \text{cm}$