题目
设X与Y为随机变量,且有D=4,D(Y)=1,ρxy=0.5,则D(2X-3Y)=A. 13B. 14C. 12D. 11
设X与Y为随机变量,且有D
=4,D(Y)=1,ρxy=0.5,则D(2X-3Y)=
A. 13
B. 14
C. 12
D. 11
题目解答
答案
A. 13
解析
步骤 1：理解方差的性质
方差的性质之一是对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差，ρxy是X和Y的相关系数，且Cov(X,Y) = ρxy * sqrt(D(X) * D(Y))。
步骤 2：计算协方差
根据题目给出的ρxy = 0.5，D(X) = 4，D(Y) = 1，可以计算协方差Cov(X,Y) = 0.5 * sqrt(4 * 1) = 0.5 * 2 = 1。
步骤 3：计算D(2X-3Y)
根据方差的性质，D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2 * 2 * (-3) * Cov(X,Y) = 4 * 4 + 9 * 1 + 2 * 2 * (-3) * 1 = 16 + 9 - 12 = 13。
方差的性质之一是对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差，ρxy是X和Y的相关系数，且Cov(X,Y) = ρxy * sqrt(D(X) * D(Y))。
步骤 2：计算协方差
根据题目给出的ρxy = 0.5，D(X) = 4，D(Y) = 1，可以计算协方差Cov(X,Y) = 0.5 * sqrt(4 * 1) = 0.5 * 2 = 1。
步骤 3：计算D(2X-3Y)
根据方差的性质，D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2 * 2 * (-3) * Cov(X,Y) = 4 * 4 + 9 * 1 + 2 * 2 * (-3) * 1 = 16 + 9 - 12 = 13。