下列离散趋势指标中哪一个可以补充说明平均数的意义( )A. 全距B. 标准差C. 四分位差D. 异众比例

本题考查离散趋势指标的相关知识以及各指标与平均数的关系，解题思路是分析每个选项所代表的离散趋势指标的特点，判断其是否能补充说明平均数的意义。

• A选项：全距
  全距是一组数据中的最大值与最小值之差，它只考虑了数据的两个极端值，没有考虑数据的中间分布情况。例如，有两组数据：第一组为$1, 2, 3, 4, 10$，全距为$10 - 1 = 9$；第二组为$1, 5, 6, 7, 8$，全距同样为$8 - 1 = 7$。虽然全距能反映数据的大致范围，但它不能很好地体现数据围绕平均数的离散程度，所以不能很好地补充说明平均数的意义。
• B选项：标准差
  标准差是方差的平方根，方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。其计算公式为$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n}}$，其中$x_{i}$是第$i$个数据，$\overline{x}$是数据的平均数，$n$是数据的个数。标准差考虑了每个数据与平均数的偏离程度，它能反映数据在平均数周围的分散情况。标准差越小，说明数据越集中在平均数附近；标准差越大，说明数据越分散。例如，对于数据$1, 2, 3, 4, 5$，平均数$\overline{x}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5}=3$，方差$\frac{(1 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}}{5}=\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}=2$，标准差$\sigma=\sqrt{2}\approx1.41$；若数据变为$1, 1, 3, 5, 5$，平均数同样为$3$，但方差$\frac{(1 - 3)^{2}+(1 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}}{5}=\frac{4 + 4 + 0 + 4 + 4}{5}=3.2$，标准差$\sigma=\sqrt{3.2}\approx1.79$。通过标准差可以看出两组数据围绕平均数的离散程度不同，所以标准差可以很好地补充说明平均数的意义。
• C选项：四分位差
  四分位差是上四分位数$Q_{3}$与下四分位数$Q_{1}$之差的一半，即$Q=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}$。它只考虑了数据中间$50\%$的分布情况，没有考虑全部数据与平均数的关系，不能全面地反映数据围绕平均数的离散程度，所以不能很好地补充说明平均数的意义。
• D选项：异众比例
  异众比例是指非众数组的频数占总频数的比例，它主要用于衡量众数的代表性，反映的是数据中众数以外的其他数据的离散情况，与平均数没有直接关系，不能补充说明平均数的意义。