调查某地方考生的外语成绩 X近似服从正态分布,平均成绩为 72分,96分以上的占考生总数的 2.3%。试求:(1) 考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率;(2) 该地外语考试的及格率;⏺(3)若已知第三名的成绩是 96分,求不及格的人数。(G 1 =0.8413 , G (2) = 0.9 7 7 )

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、利用标准正态分布表求概率，以及实际问题的应用。

解题核心思路：

1. 确定正态分布参数：利用已知条件（96分以上占比2.3%）求出标准差σ。
2. 标准化转换：将具体分数转化为标准正态变量Z，利用标准正态分布表计算概率。
3. 实际问题转化：将及格率、不及格人数等实际问题转化为概率计算。

破题关键点：

• 利用标准正态分布表：通过已知概率反推Z值，进而求出σ。
• 对称性应用：利用正态分布的对称性简化区间概率计算。
• 分位数理解：明确题目中给出的G(1)=0.8413和G(2)=0.977对应的标准差倍数关系。

第（1）题

1. 标准化转换：
   • 60分对应Z值：$Z_1 = \frac{60 - 72}{12} = -1$
   • 84分对应Z值：$Z_2 = \frac{84 - 72}{12} = 1$
2. 计算区间概率：
   • $P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - (1 - 0.8413) = 0.6826$

第（2）题

1. 标准化转换：
   • 60分对应Z值：$Z = \frac{60 - 72}{12} = -1$
2. 计算右侧概率：
   • $P(X \geq 60) = P(Z \geq -1) = 1 - \Phi(-1) = 1 - (1 - 0.8413) = 0.8413$

第（3）题

1. 关键信息缺失：题目未提供总考生人数，无法直接计算具体人数。
2. 可能的隐含条件：若假设总人数为$N$，则不及格人数为$N \cdot (1 - 0.8413) = 0.1587N$，但需补充总人数才能进一步求解。