设总体 X 服从正态分布 N(0, sigma^2)，overline(X), S^2 分别是容量为 n 的样本的均值和方差，则 (sqrt(n)overline(X))/(S) 服从 ________ 分布。A. t(n)B. t(n-3)C. t(n-1)D. t(n-2)

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值与样本方差的分布性质，以及t分布的构造条件。

解题核心思路：

1. 标准化样本均值：将样本均值$\overline{X}$标准化为标准正态分布。
2. 样本方差的卡方分布：利用样本方差$S^2$与卡方分布的关系。
3. t分布的定义：将标准化正态变量与独立的卡方变量组合，构造t分布形式。

破题关键点：

• 独立性：正态总体下，$\overline{X}$与$S^2$相互独立。
• 自由度匹配：分子标准化后的自由度为1，分母卡方分布的自由度为$n-1$，组合后t分布的自由度为$n-1$。

步骤1：标准化样本均值

总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$服从$N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。标准化后：
$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma} \sim N(0, 1)$

步骤2：样本方差的卡方分布

样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
因此，$S^2$可以表示为：
$S^2 = \frac{\sigma^2}{n-1} \cdot \chi^2(n-1)$

步骤3：构造t分布形式

将原统计量$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$改写为：
$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S} = \frac{\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma}}{\sqrt{\frac{S^2}{\sigma^2}}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}$
其中，分子为标准正态分布，分母为自由度$n-1$的卡方分布标准化后的平方根。根据t分布的定义，该统计量服从$t(n-1)$分布。