题目
用机器包装小袋咖啡，已知咖啡重量服从正态分布(v```)`，随机地抽取100袋咖啡件行测量，算的其样本均值(v```)`，样本方差为(v```)`。(附：(v```)`(v```)`(v```)`)现对总体期望(v```)`进行区间估计，用到的函数为（ ）.A. (v```)`B. (v```)`C. (v```)`D. (v```)`
用机器包装小袋咖啡，已知咖啡重量服从正态分布
，随机地抽取100袋咖啡件行测量，算的其样本均值
，样本方差为
。
(附：
)
现对总体期望
进行区间估计，用到的函数为（ ）.
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
由已知
，则根据抽样分布定理可得，样本均值的抽样分布为：
将其标准化，有
由于总体方差未知，故用样本方差去代替总体总体方差进行估计，又由于是大样本，则用Z检验统计量.
即
综上：选择B.
解析
步骤 1：确定总体分布
已知咖啡重量服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中$\mu$是总体均值，$\sigma^2$是总体方差。
步骤 2：确定样本均值的分布
根据抽样分布定理，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，其中$n$是样本容量。
步骤 3：标准化样本均值
将样本均值$\overline{X}$标准化，得到$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。这是当总体方差$\sigma^2$已知时，样本均值的标准化形式。
步骤 4：考虑总体方差未知的情况
由于总体方差$\sigma^2$未知，我们用样本方差$S^2$来代替。对于大样本（$n \geq 30$），样本均值的标准化形式为$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。这是因为大样本情况下，样本方差$S^2$可以很好地估计总体方差$\sigma^2$，并且样本均值的分布近似于正态分布。
已知咖啡重量服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中$\mu$是总体均值，$\sigma^2$是总体方差。
步骤 2：确定样本均值的分布
根据抽样分布定理，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，其中$n$是样本容量。
步骤 3：标准化样本均值
将样本均值$\overline{X}$标准化，得到$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。这是当总体方差$\sigma^2$已知时，样本均值的标准化形式。
步骤 4：考虑总体方差未知的情况
由于总体方差$\sigma^2$未知，我们用样本方差$S^2$来代替。对于大样本（$n \geq 30$），样本均值的标准化形式为$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。这是因为大样本情况下，样本方差$S^2$可以很好地估计总体方差$\sigma^2$，并且样本均值的分布近似于正态分布。