题目
9.填空题已知Xsim N(mu,sigma^2),Ysim N(mu,sigma^2)，且X与Y相互独立，则Cov(X+Y,X-Y)=____.
9.填空题
已知$X\sim N(\mu,\sigma^{2}),Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且X与Y相互独立，则$Cov(X+Y,X-Y)$=____.
题目解答
答案
为了求解 $ \text{Cov}(X+Y, X-Y) $，我们首先使用协方差的性质。协方差的性质之一是对于任意随机变量 $ A, B, C, D $，有：
\[
\text{Cov}(A+B, C+D) = \text{Cov}(A, C) + \text{Cov}(A, D) + \text{Cov}(B, C) + \text{Cov}(B, D)
\]
在本题中，我们设 $ A = X $, $ B = Y $, $ C = X $, $ D = -Y $。代入上述性质，我们得到：
\[
\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, -Y) + \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, -Y)
\]
根据协方差的性质， $ \text{Cov}(X, -Y) = -\text{Cov}(X, Y) $ 和 $ \text{Cov}(Y, -Y) = -\text{Cov}(Y, Y) $，上式可以简化为：
\[
\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y)
\]
由于协方差具有对称性，即 $ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X) $，上式进一步简化为：
\[
\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(Y, Y)
\]
我们知道 $ \text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X) $ 和 $ \text{Cov}(Y, Y) = \text{Var}(Y) $。因此，上式变为：
\[
\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)
\]
题目中给出 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 和 $ Y \sim N(\mu, \sigma^2) $，这意味着 $ \text{Var}(X) = \sigma^2 $ 和 $ \text{Var}(Y) = \sigma^2 $。代入这些值，我们得到：
\[
\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma^2 - \sigma^2 = 0
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{0}
\]
解析
步骤 1：应用协方差的性质
根据协方差的性质，对于任意随机变量 $A, B, C, D$，有：\[ \text{Cov}(A+B, C+D) = \text{Cov}(A, C) + \text{Cov}(A, D) + \text{Cov}(B, C) + \text{Cov}(B, D) \] 在本题中，我们设 $A = X$，$B = Y$，$C = X$，$D = -Y$。代入上述性质，我们得到：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, -Y) + \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, -Y) \]
步骤 2：简化表达式
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, -Y) = -\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\text{Cov}(Y, -Y) = -\text{Cov}(Y, Y)$，上式可以简化为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y) \] 由于协方差具有对称性，即 $\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$，上式进一步简化为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(Y, Y) \]
步骤 3：代入方差
我们知道 $\text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X)$ 和 $\text{Cov}(Y, Y) = \text{Var}(Y)$。因此，上式变为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) \] 题目中给出 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，这意味着 $\text{Var}(X) = \sigma^2$ 和 $\text{Var}(Y) = \sigma^2$。代入这些值，我们得到：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma^2 - \sigma^2 = 0 \]
根据协方差的性质，对于任意随机变量 $A, B, C, D$，有：\[ \text{Cov}(A+B, C+D) = \text{Cov}(A, C) + \text{Cov}(A, D) + \text{Cov}(B, C) + \text{Cov}(B, D) \] 在本题中，我们设 $A = X$，$B = Y$，$C = X$，$D = -Y$。代入上述性质，我们得到：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, -Y) + \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, -Y) \]
步骤 2：简化表达式
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, -Y) = -\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\text{Cov}(Y, -Y) = -\text{Cov}(Y, Y)$，上式可以简化为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y) \] 由于协方差具有对称性，即 $\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$，上式进一步简化为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(Y, Y) \]
步骤 3：代入方差
我们知道 $\text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X)$ 和 $\text{Cov}(Y, Y) = \text{Var}(Y)$。因此，上式变为：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) \] 题目中给出 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，这意味着 $\text{Var}(X) = \sigma^2$ 和 $\text{Var}(Y) = \sigma^2$。代入这些值，我们得到：\[ \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma^2 - \sigma^2 = 0 \]