10.试将beta=(0,2,0,-1)^T表示为alpha_(1)=(1,1,1,1)^T,alpha_(2)=(1,1,1,0)^T,alpha_(3)=(1,1,0,0)^T,alpha_(4)=(1,0,0,0)^T的线性组合.

本题考查向量的线性组合以及线性方程组的求解。解题思路是先设出$\beta$关于$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$的线性组合表达式，然后根据向量相等的条件列出线性方程组，最后求解该线性方程组得到组合系数。

设$\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4$，将$\beta=(0,2,0,-1)^{T}$，$\alpha_{1}=(1,1,1,1)^{T}$，$\alpha_{2}=(1,1,1,0)^{T}$，$\alpha_{3}=(1,1,0,0)^{T}$，$\alpha_{4}=(1,0,0,0)^{T}$代入可得：

$\begin{align*}(0,2,0,-1)^{T}&=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}x_1 + x_2 + x_3 + x_4\\x_1 + x_2 + x_3\\x_1 + x_2\\x_1\end{pmatrix}\end{align*}$

根据向量相等的条件，对应分量相等，可得到线性方程组：

$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 &(1)\\x_1 + x_2 + x_3 = 2 &(2)\\x_1 + x_2 = 0 &(3)\\x_1 = -1 &(4)\end{cases}$

由$(4)$式可知$x_1 = -1$。

将$x_1 = -1$代入$(3)$式可得：

$-1 + x_2 = 0$，解得$x_2 = 1$。

将$x_1 = -1$，$x_2 = 1$代入$(2)$式可得：

$-1 + 1 + x_3 = 2$，解得$x_3 = 2$。

将$x_1 = -1$，$x_2 = 1$，$x_3 = 2$代入$(1)$式可得：

$-1 + 1 + 2 + x_4 = 0$，解得$x_4 = -2$。