题目
21.设3阶矩阵A的特征值为 (lambda )_(1)=2, (lambda )_(2)=-2 (lambda )_(3)=1, 对应的特征向量依次为-|||-(0 1) (1)-|||-p1= 1 p2= 1 p3= 1-|||-1) 1 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造特征向量矩阵P
根据题目给出的特征向量，构造特征向量矩阵P，其列向量为特征向量。
\[ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：构造对角矩阵D
根据题目给出的特征值，构造对角矩阵D，其对角线元素为特征值。
\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 3：计算矩阵A
根据矩阵的对角化公式，有 \( A = PDP^{-1} \)。首先计算 \( P^{-1} \)。
\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：计算 \( PDP^{-1} \)
\[ A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ -4 & 5 & -3 \\ -4 & 4 & -2 \end{pmatrix} \]
根据题目给出的特征向量，构造特征向量矩阵P，其列向量为特征向量。
\[ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：构造对角矩阵D
根据题目给出的特征值，构造对角矩阵D，其对角线元素为特征值。
\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 3：计算矩阵A
根据矩阵的对角化公式，有 \( A = PDP^{-1} \)。首先计算 \( P^{-1} \)。
\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：计算 \( PDP^{-1} \)
\[ A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ -4 & 5 & -3 \\ -4 & 4 & -2 \end{pmatrix} \]