题目
设 X_1, X_2, ..., X_(n_1) 与 Y_1, Y_2, ..., Y_(n_2) 分别来自正态总体 N(mu_1, sigma_1^2)，N(mu_2, sigma_2^2)，其中 mu_1, mu_2, sigma_1, sigma_2 已知，且两正态总体相互独立，则不服从标准正态分布的统计量是 A ((overline(X) - mu_1)sqrt(n_1))/(sigma_1) B (X_(n_1) - mu_1)/(sigma_1) C (Y_1 - mu_2)/(sigma_2) D ((overline(X) - overline(Y))- (mu_1 - mu_2))/(sqrt(frac(sigma_1^2){n_1) - (sigma_2^2)/(n_2))}
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 分别来自正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$N(\mu_2, \sigma_2^2)$，其中 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2$ 已知，且两正态总体相互独立，则不服从标准正态分布的统计量是
A $\frac{(\overline{X} - \mu_1)\sqrt{n_1}}{\sigma_1}$
B $\frac{X_{n_1} - \mu_1}{\sigma_1}$
C $\frac{Y_1 - \mu_2}{\sigma_2}$
D $\frac{(\overline{X} - \overline{Y})- (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} - \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$
题目解答
答案
为了确定哪个统计量不服从标准正态分布，我们需要分析每个选项中给出的统计量的分布。让我们一步步地进行分析。
### 选项 A: $\frac{(\bar{X}-\mu_{1})\sqrt{n_{1}}}{\sigma_{1}}$
1. $\bar{X}$ 是来自正态总体 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^2)$ 的样本均值。
2. 样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N\left(\mu_{1}, \frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}\right)$。
3. 标准化 $\bar{X}$ 得到 $\frac{\bar{X} - \mu_{1}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}}} = \frac{(\bar{X} - \mu_{1})\sqrt{n_{1}}}{\sigma_{1}}$。
4. 这个统计量服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
### 选项 B: $\frac{X_{n_{1}} - \mu_{1}}{\sigma_{1}}$
1. $X_{n_{1}}$ 是来自正态总体 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^2)$ 的一个观察值。
2. 标准化 $X_{n_{1}}$ 得到 $\frac{X_{n_{1}} - \mu_{1}}{\sigma_{1}}$。
3. 这个统计量服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
### 选项 C: $\frac{Y_{1} - \mu_{2}}{\sigma_{2}}$
1. $Y_{1}$ 是来自正态总体 $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^2)$ 的一个观察值。
2. 标准化 $Y_{1}$ 得到 $\frac{Y_{1} - \mu_{2}}{\sigma_{2}}$。
3. 这个统计量服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
### 选项 D: $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} - \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}}$
1. $\bar{X}$ 是来自正态总体 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^2)$ 的样本均值，因此 $\bar{X} \sim N\left(\mu_{1}, \frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}\right)$。
2. $\bar{Y}$ 是来自正态总体 $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^2)$ 的样本均值，因此 $\bar{Y} \sim N\left(\mu_{2}, \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}\right)$。
3. 两个独立正态随机变量的差 $\bar{X} - \bar{Y}$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{1} - \mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}\right)$。
4. 标准化 $\bar{X} - \bar{Y}$ 得到 $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}}$。
5. 这个统计量服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
6. 然而，选项 D 中的分母是 $\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} - \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}$，这在 $\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}} > \frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}$ 时是未定义的，或者即使在 $\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} > \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}$ 时，它也不等于 $\bar{X} - \bar{Y}$ 的标准差。
因此，不服从标准正态分布的统计量是 $\boxed{D}$。