题目
2.设X_(1),...,X_(n)是来自具有X^2(m)分布的总体的样本求样本均值overline(X)的期望与方差.
2.设$X_{1},\cdots,X_{n}$是来自具有$X^{2}(m)$分布的总体的样本求样本均值$\overline{X}$的期望与方差.
题目解答
答案
为了求解样本均值$\overline{X}$的期望与方差，其中$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自具有$\chi^2(m)$分布的总体的样本，我们可以按照以下步骤进行：
1. **确定单个随机变量$X_i$的期望与方差：**
由于每个$X_i$服从$\chi^2(m)$分布，我们知道：
\[
E(X_i) = m
\]
\[
\text{Var}(X_i) = 2m
\]
2. **求样本均值$\overline{X}$的期望：**
样本均值$\overline{X}$定义为：
\[
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
利用期望的线性性质，我们有：
\[
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n m = \frac{1}{n} \cdot nm = m
\]
3. **求样本均值$\overline{X}$的方差：**
利用方差的性质，即独立随机变量之和的方差等于它们方差的和，我们有：
\[
\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n 2m = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \cdot n \cdot 2m = \frac{2m}{n}
\]
因此，样本均值$\overline{X}$的期望与方差分别为：
\[
E(\overline{X}) = m
\]
\[
\text{Var}(\overline{X}) = \frac{2m}{n}
\]
最终答案为：
\[
\boxed{m \text{ 和 } \frac{2m}{n}}
\]
解析
解析
本题考查卡方分布的期望与与方差以及样本均值的期望与方差的计算。解题思路是先明确单个服从卡方分布的随机变量的期望和方差，再利用期望和方差的性质来计算样本均值的期望与方差。
- 确定单个随机变量$X_i$的期望与方差：
已知每个$X_i$服从$\chi^2(m)$分布，根据卡方分布的性质，我们知道：
$E(X_i) = m$
$\text{Var}(X_i) = 2m$ - 求样本均值$\overline{X}$的期望：
样本均值$\overline{X}$定义为：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
利用期望的线性性质，即$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，我们有：
$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\right) E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n m = \frac{frac{1}{n} \cdot nm = m$
. 求样本均值$\overline{X}$的方差：
利用方差的性质，$\text{Var}(aX + bY)=a^2\text{Var}(X)+b^2\text{Var}(Y)$，以及独立随机变量之和的方差等于它们方差的和，我们有：
$\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1{n}\right)^2 \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n\right)^2 \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n 2m = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \cdot n \cdot 2m = \frac{2m}{n}$