(2)设X,Y是随机变量,且有 E(X)=3 (Y)=1 (x)=4 (Y)=9, 令 =5X-Y+-|||-15,分别在下列3种情况下求E(Z)和D(Z)-|||-(i)X,Y相互独立,(ii)X,Y不相关,(iii)X与Y的相关系数为0.25.

步骤 1：计算E(Z)
根据期望的线性性质，我们有：
\[ E(Z) = E(5X - Y + 15) = 5E(X) - E(Y) + 15 \]
代入已知的期望值：
\[ E(Z) = 5 \times 3 - 1 + 15 = 15 - 1 + 15 = 29 \]

步骤 2：计算D(Z)在X,Y相互独立的情况下
当X,Y相互独立时，协方差Cov(X,Y) = 0，因此：
\[ D(Z) = D(5X - Y + 15) = 25D(X) + D(Y) - 2 \times 5 \times Cov(X,Y) \]
代入已知的方差值和协方差值：
\[ D(Z) = 25 \times 4 + 9 - 2 \times 5 \times 0 = 100 + 9 = 109 \]

步骤 3：计算D(Z)在X,Y不相关的情况下
当X,Y不相关时，协方差Cov(X,Y) = 0，因此：
\[ D(Z) = D(5X - Y + 15) = 25D(X) + D(Y) - 2 \times 5 \times Cov(X,Y) \]
代入已知的方差值和协方差值：
\[ D(Z) = 25 \times 4 + 9 - 2 \times 5 \times 0 = 100 + 9 = 109 \]

步骤 4：计算D(Z)在X与Y的相关系数为0.25的情况下
当X与Y的相关系数为0.25时，我们首先计算协方差Cov(X,Y)：
\[ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} \]
\[ 0.25 = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{4 \times 9}} \]
\[ Cov(X,Y) = 0.25 \times \sqrt{36} = 0.25 \times 6 = 1.5 \]
然后计算D(Z)：
\[ D(Z) = D(5X - Y + 15) = 25D(X) + D(Y) - 2 \times 5 \times Cov(X,Y) \]
代入已知的方差值和协方差值：
\[ D(Z) = 25 \times 4 + 9 - 2 \times 5 \times 1.5 = 100 + 9 - 15 = 94 \]