一、单选题（共50题，100.0分） 35.（单选题，2.0分） 3.y=sqrt(x^2)-1的单调递增区间是 A A.[1，+∞) B B.(-∞，-1] C C.[-1,1] D D.(-1,1)

考查要点：本题主要考查函数的单调区间判断，涉及定义域的确定和导数法判断单调性。

解题思路：

1. 确定定义域：根号内的表达式必须非负，即$x^2 - 1 \geq 0$，解得$x \leq -1$或$x \geq 1$。
2. 求导数：利用链式法则对函数求导，得到$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$。
3. 分析导数符号：分母$\sqrt{x^2 - 1}$在定义域内恒正，导数的符号由分子$x$决定。结合定义域分区间讨论：
   • 当$x \geq 1$时，$x > 0$，导数正，函数递增；
   • 当$x \leq -1$时，$x < 0$，导数负，函数递减。

关键点：明确导数的符号与定义域的结合分析，避免忽略定义域的限制。

步骤1：确定定义域

函数$y = \sqrt{x^2 - 1}$的定义域要求根号内非负：
$x^2 - 1 \geq 0 \implies (x - 1)(x + 1) \geq 0 \implies x \leq -1 \ \text{或} \ x \geq 1.$
因此，定义域为$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。

步骤2：求导数

对函数求导：
$y = (x^2 - 1)^{1/2} \implies y' = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}.$

步骤3：分析导数符号

• 分母分析：$\sqrt{x^2 - 1} > 0$在定义域内恒成立。
• 分子分析：$x$的符号决定导数的正负：
  • 当$x \geq 1$时，$x > 0$，故$y' > 0$，函数单调递增；
  • 当$x \leq -1$时，$x < 0$，故$y' < 0$，函数单调递减。

结论：单调递增区间为$[1, +\infty)$，对应选项A。