如图所示，一质量为m的物体A放在一与水平面成角的固定光滑斜面上，并系上一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定。设物体沿斜面的运动中，在平衡位置处的初动能为E_(k0)，以弹簧原长处为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，试求：(1)物体A处于平衡位置时的坐标。(2)物体A在弹簧伸长x时动能的表达式。
如图所示，一质量为m的物体A放在一与水平面成
角的固定光滑斜面上，并系上一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定。设物体沿斜面的运动中，在平衡位置处的初动能为$$E_{k0}$$，以弹簧原长处为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，试求：
(1)物体A处于平衡位置时的坐标
。
(2)物体A在弹簧伸长x时动能的表达式。
题目解答
答案
(1)物体A处于平衡位置时，合力为零，有：
所以$$x_0=\frac{mgsin\theta }{k}$$
(2)以坐标原点为参考点，根据机械能守恒可得：-$$mgx_0sin\theta $$+$$E_{k0}$$+$$\frac{1}{2}kx_0^2$$=-$$mgxsin\theta$$+$$E_{k}$$+$$\frac{1}{2}kx^2$$，
解得：$$E_{k}$$=$$E_{k0}$$-$$mgx_0sin\theta $$+$$mgxsin\theta$$-$$\frac{1}{2}kx^2$$+$$\frac{1}{2}k{x}_{0} ^2$$。
故答案为：(1)物体A处于平衡位置时的坐标$$x_0=\frac{mgsin\theta }{k}$$；
(2)物体A在弹簧伸长x时动能的表达式
$$E_{k}$$=$$E_{k0}$$-$$mgx_0sin\theta $$+$$mgxsin\theta$$-$$\frac{1}{2}kx^2$$+$$\frac{1}{2}k{x}_{0} ^2$$。
解析
考查要点：本题主要考查弹簧振子的平衡位置确定以及机械能守恒定律的应用。
解题思路：
- 平衡位置：物体在平衡位置时合力为零，通过受力分析建立平衡方程求解。
- 动能表达式：以平衡位置为参考点，利用机械能守恒，将动能与势能（重力势能和弹性势能）的变化联系起来。
关键点：
- 平衡位置由重力沿斜面的分力与弹簧弹力平衡确定。
- 机械能守恒需考虑动能、重力势能、弹性势能的相互转化。
第（1）题
物体在平衡位置时，沿斜面方向受力平衡。
重力沿斜面的分力为 $mg\sin\theta$，弹簧弹力为 $kx_0$。
根据平衡条件：
$kx_0 = mg\sin\theta$
解得平衡位置坐标：
$x_0 = \frac{mg\sin\theta}{k}$
第（2）题
以平衡位置 $x_0$ 为参考点，系统机械能守恒。
初始时刻（平衡位置）：
- 动能为 $E_{k0}$，
- 弹性势能为 $\frac{1}{2}kx_0^2$，
- 重力势能为 $-mgx_0\sin\theta$。
任意时刻（弹簧伸长 $x$）： - 动能为 $E_k$，
- 弹性势能为 $\frac{1}{2}kx^2$，
- 重力势能为 $-mgx\sin\theta$。
根据机械能守恒：
$E_{k0} - mgx_0\sin\theta + \frac{1}{2}kx_0^2 = E_k - mgx\sin\theta + \frac{1}{2}kx^2$
整理得动能表达式：
$E_k = E_{k0} - mgx_0\sin\theta + mgx\sin\theta - \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$