若随机变量X与Y的方差D(X)，D(Y)都大于零,且E(XY)=E(X)E(Y),则有A X与Y一定相互独立B X与Y一定不相关C D(XY)=D(X)D(Y)D D(X-Y)=D(X)-D(Y)

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差、相关性与方差性质之间的关系，重点在于理解协方差为零的含义以及方差运算规则。

解题核心思路：

1. 协方差与相关性的关系：当协方差为零时，随机变量一定不相关，但不相关不一定独立。
2. 方差运算规则：需注意方差的线性性质及乘积项的处理，避免混淆独立与非独立情况下的方差展开。

破题关键点：

• 由条件 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 可直接推出 $X$ 与 $Y$ 的协方差为零，从而判断相关性。
• 排除选项时需结合方差公式 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$ 和独立性的特殊性质。

选项分析

选项A：$X$ 与 $Y$ 一定相互独立

• 关键点：协方差为零仅说明不相关，但独立性要求更强（需概率分布满足乘积关系）。
• 结论：不相关不一定独立，因此 A错误。

选项B：$X$ 与 $Y$ 一定不相关

• 推导：
  协方差定义为 $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。
  由题意 $E(XY) = E(X)E(Y)$，代入得 $\text{Cov}(X,Y) = 0$。
  协方差为零 $\Rightarrow$ 不相关，因此 B正确。

选项C：$D(XY) = D(X)D(Y)$

• 关键点：方差的乘积公式仅在 $X$ 与 $Y$ 独立时成立（即 $D(XY) = D(X)D(Y) + [E(X)]^2D(Y) + [E(Y)]^2D(X)$）。
• 结论：题目未说明独立，因此 C错误。

选项D：$D(X-Y) = D(X) - D(Y)$

• 推导：
  方差性质为 $D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$。
  由 $\text{Cov}(X,Y) = 0$，得 $D(X-Y) = D(X) + D(Y)$。
  与选项矛盾，因此 D错误。