4.21 设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(0,σ²)，令U=aX+bY,V=aX-bY(a,b均为非零常数)，试求U和V的相关系数.

本题考查随机变量的协方差、方差以及相关系数的计算，解题思路是先根据协方差的定义求出$U$和$V$的协方差$\text{Cov}(U, V)$，再利用方差的性质分别求出$U$和$V$的方差$D(U)$和\\(X\)与$Y$相互独立，所以$\text{Cov}(X, Y)=0$。

1. 计算协方差$\text{Cov}(U, V)$：
   根据协方差的定义$\text{Cov}(U, V)=E[(U - E(U))(V - E(V))]$，因为$E(X)=E(Y)=0$，所以$E(U)=E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)=0$，$E(V)=E(aX - bY)=aE(X)-bE(Y)=0$，则$\text{Cov}(U, V)=E(UV)$。
   将$U = aX + bY$，$V = aX - bY$代入可得：
   $\text{Cov}(U, V)=E[(aX + bY)(aX - bY)]$
   根据乘法公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，上式可化为：
   $\text{Cov}(U, V)=E(a^2X^2 - b^2Y^2)$
   根据期望的性质$E(mX^2+nY^2)=mE(X^2)+nE(Y^2)$，可得：
   $\text{Cov}(U, V)=a^2E(X^2) - b^2E(Y^2)$
   又因为$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，已知$E(X)=0$，$D(X)=\sigma^2$，所以$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\sigma^2$，同理$E(Y^2)=\sigma^2$，则：
   $\text{Cov}(U, V)=a^2\sigma^2 - b^2\sigma^2=(a^2 - b^2)\sigma^2$
2. 计算方差$D(U)$和$D(V)$：
   根据方差的性质$D(mX + nY)=m^2D(X)+n^2D(Y)+2mn\text{Cov}(X, Y)$，因为$X$与$Y$相互独立，所以$\text{Cov}(X, Y)=0$，则：
   $D(U)=D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)=a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2=(a^2 + b^2)\sigma^2$
   $D(V)=D(aX - bY)=a^2D(X)+(-b)^2D(Y)=a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2=(a^2 + b^2)\sigma^2$
3. 计算相关系数$\rho_{UV}$：
   根据相关系数的定义$\rho_{UV}=\frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{D(U)D(V)}}$，将\\(\text{Cov}(U, V)=(a^2 - b^2)\sigma^2\)，$D(U)=(a^2 + b^2)\sigma^2$，$D(V)=(a^2 + b^2)\sigma^2$代入可得：
   $\rho_{UV}=\frac{(a^2 - b^2)\sigma^2}{\sqrt{(a^2 + b^2)\sigma^2\times(a^2 + b^2)\sigma^2}}=\frac{(a^2 - b^2)\sigma^2}{(a^2 + b^2)\sigma^2}=\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$