7.(1)设X1,X2,···,Nn是来自总体X的一个样本,且 sim pi (X), 求 X=0 -|||-的最大似然估计值.-|||-(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松-|||-分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计.使用-|||-下面122个观察值.下表中,r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数,s表示-|||-观察到的扳道员人数.-|||-r 0 1 2 3 4 5-|||-s 44 42 21 9 4 2
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的最大似然估计及其不变性性质的应用。
解题思路：
- 第（1）题：已知泊松分布参数λ的MLE为样本均值$\overline{X}$，利用MLE的不变性，将函数$P\{X=0\}=e^{-\lambda}$转换为关于$\overline{X}$的表达式。
- 第（2）题：根据给定数据计算样本均值，代入第（1）题的结果，得到$p$的具体估计值。
关键点：
- 泊松分布的MLE性质；
- 不变性定理的应用；
- 频数数据的样本均值计算。
第（1）题
-
泊松分布的概率函数：
总体$X \sim \pi(\lambda)$，概率函数为：
$P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$
特别地，$P\{X=0\} = e^{-\lambda}$。 -
参数λ的MLE：
根据已知结论，泊松分布参数$\lambda$的最大似然估计值为样本均值：
$\hat{\lambda} = \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$ -
应用不变性定理：
函数$u = e^{-\lambda}$是$\lambda$的连续且单调减函数，因此根据MLE的不变性，$P\{X=0\}$的MLE为：
$\hat{P}\{X=0\} = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-\overline{X}}.$
第（2）题
-
计算样本均值：
根据频数数据，样本均值为：
$\overline{X} = \frac{1}{122} \sum_{i=1}^{122} X_i = \frac{1}{122} \left( 44 \times 0 + 42 \times 1 + 21 \times 2 + 9 \times 3 + 4 \times 4 + 2 \times 5 \right).$
计算得：
$\overline{X} = \frac{0 + 42 + 42 + 27 + 16 + 10}{122} = \frac{137}{122} \approx 1.12295.$ -
代入MLE表达式：
根据第（1）题结论，$p = P\{X=0\}$的MLE为：
$\hat{p} = e^{-\overline{X}} = e^{-\frac{137}{122}} \approx e^{-1.12295} \approx 0.3253.$