题目
假设消费者在某家超市的购物时间服从正态分布,已知总体标准差8分钟,随机选取16名在该超市购物的消费者作为样本,他们的购物时间的均值15分钟,求消费者购物时间均值的95%的置信区间。
假设消费者在某家超市的购物时间服从正态分布,已知总体标准差8分钟,随机选取16名在该超市购物的消费者作为样本,他们的购物时间的均值15分钟,求消费者购物时间均值
的95%的置信区间
。
题目解答
答案
首先，我们知道，对于正态分布，总体均值的95%置信区间可以通过以下公式计算：
其中，
是样本均值，
是标准正态分布的上 
分位数，
是总体标准差，n 是样本大小。
根据题目，我们知道
分钟，
分钟，n = 16。
将这些值代入公式，我们可以计算出 的95%置信区间为：
所以，消费者购物时间均值的95%置信区间是 (11.08, 18.92) 分钟。这意味着我们有95%的信心认为消费者的平均购物时间在这个区间内。
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
置信区间公式为：$\overline {X}\pm {Z}_{\dfrac {a}{2}}\times \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，${Z}_{\dfrac {a}{2}}$是标准正态分布的上$\dfrac {a}{2}$分位数，$\sigma$是总体标准差，n是样本大小。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，$\overline {X}=15$分钟，${Z}_{0.025}=1.96$，$\sigma=8$分钟，n=16。
步骤 3：计算置信区间
将这些值代入公式，计算出均值的95%置信区间为：$15\pm 1.96\times \dfrac {8}{\sqrt {16}}=15\pm 1.96\times 2=15\pm 3.92$。
置信区间公式为：$\overline {X}\pm {Z}_{\dfrac {a}{2}}\times \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，${Z}_{\dfrac {a}{2}}$是标准正态分布的上$\dfrac {a}{2}$分位数，$\sigma$是总体标准差，n是样本大小。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，$\overline {X}=15$分钟，${Z}_{0.025}=1.96$，$\sigma=8$分钟，n=16。
步骤 3：计算置信区间
将这些值代入公式，计算出均值的95%置信区间为：$15\pm 1.96\times \dfrac {8}{\sqrt {16}}=15\pm 1.96\times 2=15\pm 3.92$。