在确定总体均值或总体比率的置信区间时，关于样本容量，下列说法正确的有 在其他条件相同时，样本容量越大所求置信区间越短 在其他条件相同时，样本容量越大所求抽样平均误差越小 在其他条件相同且所求置信区间长度相同时，采用简单随机重复抽样所需样本容量会不少于简单随机不重复抽样 A. 2项B. 1项C. 0项D. 3项

本题考查样本容量与置信区间、抽样平均误差之间的关系，以及不同抽样方式下样本容量的比较。解题思路是分别分析每个说法，根据相关的统计学公式和概念来判断其正确性。

说法一：在其他条件相同时，样本容量越大所求置信区间越短

对于总体均值的置信区间，在总体方差$\sigma^{2}$已知时，其置信区间为$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$；在总体方差$\sigma^{2}$未知时，用样本方差$s^{2}$代替，置信区间为$\bar{x}\pm t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}$。对于总体比率的置信区间，为$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$。
从这些公式可以看出，置信区间的长度与样本容量$n$的平方根成反比。当样本容量$n$增大时，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$、$\frac{s}{\sqrt{n}}$和$\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$都会减小，从而使得置信区间的长度变短。所以该说法正确。

说法二：在其他条件相同时，样本容量越大所求抽样平均误差越小

抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标。对于总体均值的抽样平均误差，在重复抽样条件下为$\mu_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，在不重复抽样条件下为$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}(1-\frac{n}{N})}$；对于总体比率的抽样平均误差，在重复抽样条件下为$\mu_{p}=\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，在不重复抽样条件下为$\mu_{p}=\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}(1-\frac{n}{N})}$。
从这些公式可以看出，抽样平均误差与样本容量$n$的平方根成反比。当样本容量$n$增大时，抽样平均误差会减小。所以该说法正确。

说法三：在其他条件相同且所求置信区间长度相同时，采用简单随机重复抽样所需样本容量会不少于简单随机不重复抽样

设总体容量为$N$，总体方差为$\sigma^{2}$，置信水平为$1-\alpha$，对应的临界值为$z_{\alpha/2}$。

• 简单随机重复抽样时，置信区间长度$L = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n_{1}}}$，则样本容量$n_{1}=\frac{4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}}{L^{2}}$。
• 简单随机不重复抽样时，置信区间长度$L = 2z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}(1-\frac{n_{2}}{N})}$，解关于$n_{2}$的方程：
  $\begin{align*}\frac{L}{2z_{\alpha/2}}&=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}(1-\frac{n_{2}}{N})}\\(\frac{L}{2z_{\alpha/2}})^2&=\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}(1-\frac{n_{2}}{N})\\\frac{L^{2}}{4z_{\alpha/2}^{2}}&=\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}-\frac{\sigma^{2}}{N}\\\frac{L^{2}}{4z_{\alpha/2}^{2}}n_{2}&=\sigma^{2}-\frac{\sigma^{2}}{N}n_{2}\\\frac{L^{2}}{4z_{\alpha/2}^{2}}n_{2}+\frac{\sigma^{2}}{N}n_{2}&=\sigma^{2}\\n_{2}(\frac{L^{2}}{4z_{\alpha/2}^{2}}+\frac{\sigma^{2}}{N})&=\sigma^{2}\\n_{2}&=\frac{4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}N}{L^{2}N + 4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}}\end{align*}$
  比较$n_{1}$和$n_{2}$的大小：
  $\begin{align*}n_{1}-n_{2}&=\frac{4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}}{L^{2}}-\frac{4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}N}{L^{2}N + 4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}}\\&=\frac{4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}(L^{2}N + 4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2})-4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2}N\times L^{2}}{L^{2}(L^{2}N + 4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2})}\\&=\frac{16z_{\alpha/2}^{4}\sigma^{4}}{L^{2}(L^{2}N + 4z_{\alpha/2}^{2}\sigma^{2})}\geq0\end{align*}$
  所以$n_{1}\geq n_{2}$，即简单随机重复抽样所需样本容量会不少于简单随机不重复抽样。该说法正确。