题目
8.为调查学生购书支出，某高校在全校6000名大学生中按简单随机抽样抽取78名学生，调查了他们最近一个学期用于购书的支出，结果为：overline(y)=102.30元，s²=13712。根据这样的资料，如果要求置信度为95%，估计的相对误差不超过10%，则采用不重复抽样，应抽取多少学生进行调查?又知在这种调查中，分层抽样的设计效应为0.7，在其他条件相同的情况下，如果采用分层抽样，则需要抽取多少名学生?
8.为调查学生购书支出，某高校在全校6000名大学生中按简单随机抽样抽取78名学生，调查了他们最近一个学期用于购书的支出，结果为：$\overline{y}$=102.30元，s²=13712。根据这样的资料，如果要求置信度为95%，估计的相对误差不超过10%，则采用不重复抽样，应抽取多少学生进行调查?又知在这种调查中，分层抽样的设计效应为0.7，在其他条件相同的情况下，如果采用分层抽样，则需要抽取多少名学生?
题目解答
答案
1. **计算重复抽样下的样本量 $ n_0 $**
公式：$ n_0 = \left( \frac{t s}{r \overline{y}} \right)^2 $
代入值：$ t = 1.96 $，$ s = \sqrt{13712} \approx 117.1 $，$ r = 0.1 $，$ \overline{y} = 102.3 $
计算得：$ n_0 \approx 503.828 $
2. **计算不重复抽样下的样本量 $ n $**
公式：$ n = \frac{N n_0}{N + n_0} $
代入值：$ N = 6000 $，$ n_0 \approx 503.828 $
计算得：$ n \approx 465 $
3. **计算分层抽样下的样本量 $ n' $**
设计效应 $ \text{deff} = 0.7 $
公式：$ n' = \text{deff} \times n $
计算得：$ n' \approx 325.5 $，四舍五入为325
**答案**
不重复抽样：$\boxed{465}$
分层抽样：$\boxed{325}$
解析
步骤 1：计算重复抽样下的样本量 $ n_0 $
根据公式 $ n_0 = \left( \frac{t s}{r \overline{y}} \right)^2 $，其中 $ t $ 是置信度对应的t值，$ s $ 是样本标准差，$ r $ 是相对误差，$ \overline{y} $ 是样本均值。
代入值：$ t = 1.96 $，$ s = \sqrt{13712} \approx 117.1 $，$ r = 0.1 $，$ \overline{y} = 102.3 $。
计算得：$ n_0 \approx 503.828 $。
步骤 2：计算不重复抽样下的样本量 $ n $
根据公式 $ n = \frac{N n_0}{N + n_0} $，其中 $ N $ 是总体大小，$ n_0 $ 是重复抽样下的样本量。
代入值：$ N = 6000 $，$ n_0 \approx 503.828 $。
计算得：$ n \approx 465 $。
步骤 3：计算分层抽样下的样本量 $ n' $
设计效应 $ \text{deff} = 0.7 $。
根据公式 $ n' = \text{deff} \times n $。
计算得：$ n' \approx 325.5 $，四舍五入为325。
根据公式 $ n_0 = \left( \frac{t s}{r \overline{y}} \right)^2 $，其中 $ t $ 是置信度对应的t值，$ s $ 是样本标准差，$ r $ 是相对误差，$ \overline{y} $ 是样本均值。
代入值：$ t = 1.96 $，$ s = \sqrt{13712} \approx 117.1 $，$ r = 0.1 $，$ \overline{y} = 102.3 $。
计算得：$ n_0 \approx 503.828 $。
步骤 2：计算不重复抽样下的样本量 $ n $
根据公式 $ n = \frac{N n_0}{N + n_0} $，其中 $ N $ 是总体大小，$ n_0 $ 是重复抽样下的样本量。
代入值：$ N = 6000 $，$ n_0 \approx 503.828 $。
计算得：$ n \approx 465 $。
步骤 3：计算分层抽样下的样本量 $ n' $
设计效应 $ \text{deff} = 0.7 $。
根据公式 $ n' = \text{deff} \times n $。
计算得：$ n' \approx 325.5 $，四舍五入为325。