题目
1.单选题1.1 若总体X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体的样本，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）bigcircoverline(x)=(1)/(4)sum_(i=1)^4X_(i)bigcirc X_(1)+X_(4)-2mubigcirc(1)/(sigma^2)sum_(i=1)^4(X_(i)-overline(X))^2bigcirc(1)/(3)sum_(i=1)^4(X_(i)-overline(X))^2
1.单选题
1.1 若总体X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体的样本，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）
$\bigcirc\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$
$\bigcirc X_{1}+X_{4}-2\mu$
$\bigcirc\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
$\bigcirc\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
题目解答
答案
统计量是样本的函数，不包含未知参数。已知期望 $E(X) = \mu$，方差 $D(X) = \sigma^2$ 未知。
- **选项A**：$\overline{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} X_i$，仅含样本，是统计量。
- **选项B**：$X_1 + X_4 - 2\mu$，含已知期望 $\mu$，是统计量。
- **选项C**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \overline{X})^2$，含未知方差 $\sigma^2$，非统计量。
- **选项D**：$\frac{1}{3} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \overline{X})^2$，仅含样本，是统计量。
答案：$\boxed{C}$
解析
统计量的定义：统计量是样本的函数，不能包含总体的未知参数。本题中，总体期望 $\mu$ 已知，方差 $\sigma^2$ 未知。需逐一判断选项中是否含有未知参数。
关键点：
- 选项B中的 $\mu$ 是已知参数，因此不违反统计量的定义。
- 选项C中的 $\sigma^2$ 是未知参数，直接导致该表达式无法作为统计量。
选项分析
选项A：$\overline{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} X_i$
- 仅包含样本，不含任何未知参数，是统计量。
选项B：$X_1 + X_4 - 2\mu$
- $\mu$ 是已知总体期望，不涉及未知参数，是统计量。
选项C：$\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \overline{X})^{2}$
- 分母含未知参数 $\sigma^2$，无法通过样本计算，不是统计量。
选项D：$\frac{1}{3} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \overline{X})^{2}$
- 样本方差的无偏估计，仅依赖样本，是统计量。