题目

4.如果在某地选举中，民众对竞选者甲的支持率是40%，那么你随机询问15人，其中过半数人支持竞选者甲的概率是多少?

题目解答

答案

设支持率 $ p = 0.4 $，总人数 $ N = 15 $。过半数支持即 $ k \geq 8 $。
使用二项概率公式：
$P(X \geq 8) = \sum_{k=8}^{15} \binom{15}{k} (0.4)^k (0.6)^{15-k}$
计算得：
$P(X \geq 8) \approx 0.21$
答案： $\boxed{0.21}$

解析

本题考查二项分布的概率计算。解题思路如下：

首先明确本题符合二项分布模型，因为每次询问民众是否支持竞选者甲可看作一次独立的伯努利试验，有支持（成功）和不支持（失败）两种结果，且每次试验成功的概率固定，询问不同民众是相互独立的。
确定二项分布的参数，已知民众对竞选者甲的支持率$p = 0.4$，即每次试验成功的概率；随机询问的总人数$N = 15$，即试验次数。设支持竞选者甲的人数为随机变量$X$，则$X\sim B(15, 0.4)$。
明确所求概率，过半数人支持竞选者甲，即支持人数$k\geq 8$，所以要求$P(X\geq 8)$。
根据二项概率公式$P(X = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$（其中$n$为试验次数，$k$为成功次数，$p$为每次试验成功的概率），可得$P(X\geq 8)=\sum_{k = 8}^{15}\binom{15}{k}(0.4)^{k}(0.6)^{15 - k}$。
计算该概率和：
- 当$k = 8$时，$\binom{15}{8}=\frac{15!}{8!(15 - 8)!}=\frac{15\times14\times13\times12\times11\times10\times9}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}=6435$，$P(X = 8)=\binom{15}{8}(0.4)^{8}(0.6)^{15 - 8}=6435\times(0.4)^{8}\times(0.6)^{7}\approx6435\times0.00065536\times0.0279936\approx0.1181$。
- 当$k = 9$时，$\binom{15}{9}=\frac{15!}{9!(15 - 9)!}=\frac{15\times14\times13\times12\times11\times10}{6\times5\times4\times3\times2\times1}=5005$，$P(X = 9)=\binom{15}{9}(0.4)^{9}(0.6)^{15 - 9}=5005\times(0.4)^{9}\times(0.6)^{6}\approx5005\times0.000262144\times0.046656\approx0.0612$。
- 当$k = 10$时，$\binom{15}{10}=\frac{15!}{10!(15 - 10)!}=\frac{15\times14\times13\times12\times11}{5\times4\times3\times2\times1}=3003$，$P(X = 10)=\binom{15}{10}(0.4)^{10}(0.6)^{15 - 10}=3003\times(0.4)^{10}\times(0.6)^{5}\approx3003\times0.0001048576\times0.07776\approx0.0245$。
- 当$k = 11$时，$\binom{15}{11}=\frac{15!}{11!(15 - 11)!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}=1365$，$P(X = 11)=\binom{15}{11}(0.4)^{11}(0.6)^{15 - 11}=1365\times(0.4)^{11}\times(0.6)^{4}\approx1365\times0.00004194304\times0.1296\approx0.0074$。
- 当$k = 12$时，$\binom{15}{12}=\frac{15!}{12!(15 - 12)!}=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455$，$P(X = 12)=\binom{15}{12}(0.4)^{12}(0.6)^{15 - 12}=455\times(0.4)^{12}\times(0.6)^{3}\approx455\times0.000016777216\times0.216\approx0.0017$。
- 当$k = 13$时，$\binom{15}{13}=\frac{15!}{13!(15 - 13)!}=\frac{15\times14}{2\times1}=105$，$P(X = 13)=\binom{15}{13}(0.4)^{13}(0.6)^{15 - 13}=105\times(0.4)^{13}\times(0.6)^{2}\approx105\times0.0000067108864\times0.36\approx0.0003$。
- 当$k = 14$时，$\binom{15}{14}=15$，$P(X = 14)=\binom{15}{14}(0.4)^{14}(0.6)^{15 - 14}=15\times(0.4)^{14}\times(0.6)^{1}\approx15\times0.00000268435456\times0.6\approx0.000024$。
- 当$k = 15$时，$\binom{15}{15}=1$，$P(X = 15)=\binom{15}{15}(0.4)^{15}(0.6)^{15 - 15}=(0.4)^{15}\approx0.000001$。
- 则$P(X\geq 8)=P(X = 8)+P(X = 9)+P(X = 10)+P(X = 11)+P(X = 12)+P(X = 13)+P(X = 14)+P(X = 15)\approx0.1181 + 0.0612+0.0245 + 0.0074+0.0017+0.0003+0.000024 + 0.000001\approx0.21$。