证明: ((1+dfrac {1)(n))}^nlt ((1+dfrac {1)(n+1))}^n+1(nin (N)^*) (n∈N^×).

考查要点：本题主要考查利用函数单调性证明不等式的方法，涉及对数函数的性质、导数的应用以及不等式变形技巧。

解题核心思路：

1. 构造函数：将不等式两边取自然对数，转化为比较两个表达式的大小，构造函数$g(n) = n \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$。
2. 分析单调性：通过求导证明函数$g(x)$在$x > 0$时单调递增，从而得出$g(n) < g(n+1)$。
3. 关键不等式：利用$\ln(1+t) > \dfrac{t}{1+t}$（$t > 0$）证明导数为正，确保函数递增。

破题关键点：

• 取对数简化比较：将乘积形式转化为加法形式，便于分析。
• 导数符号判断：通过构造辅助函数$h(t) = \ln(1+t) - \dfrac{t}{1+t}$，证明其恒大于零，从而确定导数的正负。

步骤1：取对数转化不等式
原不等式两边取自然对数，得：
$n \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right) < (n+1)\ln\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)$
构造函数$g(x) = x \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$，需证明$g(x)$在$x > 0$时单调递增。

步骤2：求导分析单调性
对$g(x)$求导：
$\begin{aligned}g'(x) &= \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) + x \cdot \dfrac{-1}{x^2 + x} \\&= \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) - \dfrac{1}{x+1}\end{aligned}$

步骤3：证明导数为正
需证$g'(x) > 0$，即：
$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) > \dfrac{1}{x+1}$
令$t = \dfrac{1}{x}$，则不等式变为：
$\ln(1+t) > \dfrac{t}{1+t} \quad (t > 0)$
构造辅助函数$h(t) = \ln(1+t) - \dfrac{t}{1+t}$，求导得：
$h'(t) = \dfrac{1}{1+t} - \dfrac{1}{(1+t)^2} = \dfrac{t}{(1+t)^2} > 0 \quad (t > 0)$
因$h(0) = 0$且$h(t)$单调递增，故$h(t) > 0$，即$\ln(1+t) > \dfrac{t}{1+t}$。

步骤4：结论
由$g'(x) > 0$知$g(x)$单调递增，故对任意正整数$n$，有：
$g(n) < g(n+1) \implies (1+\dfrac{1}{n})^n < (1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}$