题目

5.在天平上重复称量一重为μ的物品，假设各次称量结果相互独立，且期望都为μ，方差都为0.04，若以overline(X)_(n)表示n次称量结果的算术平均值，为使Poverline{X)_(n)-mu<0.1}geqslant 0.95，问应至少称量多少次？

5.在天平上重复称量一重为μ的物品，假设各次称量结果相互独立，且期望都为μ，方差都为0.04，若以$\overline{X}_{n}$表示n次称量结果的算术平均值，为使$P\{\overline{X}_{n}-\mu<0.1\}\geqslant 0.95$，问应至少称量多少次？

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要确定最小的称量次数 $ n $，使得 $ n $ 次称量结果的算术平均值 $ \overline{X}_n $ 与真实重量 $ \mu $ 的差小于0.1的概率至少为0.95。已知每次称量结果的期望为 $ \mu $，方差为0.04，我们可以利用中心极限定理，该定理指出 $ \overline{X}_n $ 的分布近似为正态分布，其期望为 $ \mu $，方差为 $ \frac{0.04}{n} $。 我们想要找到最小的 $ n $，使得： \[ P\left( \left| \overline{X}_n - \mu \right| < 0.1 \right) \geq 0.95. \] 这个概率可以重写为： \[ P\left( -0.1 < \overline{X}_n - \mu < 0.1 \right) \geq 0.95. \] 通过标准化正态变量 $ \overline{X}_n $，我们得到： \[ P\left( -\frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} < \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} < \frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} \right) \geq 0.95. \] 由于 $ \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $，我们可以将不等式重写为： \[ P\left( -\frac{0.1 \sqrt{n}}{0.2} < Z < \frac{0.1 \sqrt{n}}{0.2} \right) \geq 0.95, \] 其中 $ Z $ 是一个标准正态随机变量。这简化为： \[ P\left( -\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2} \right) \geq 0.95. \] 从标准正态分布表中，我们知道 $ P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95 $。因此，我们需要： \[ \frac{\sqrt{n}}{2} \geq 1.96. \] 解 $ n $，我们得到： \[ \sqrt{n} \geq 3.92, \] \[ n \geq 3.92^2, \] \[ n \geq 15.3664. \] 由于 $ n $ 必须是整数，我们向上取整到下一个整数。因此，最小的 $ n $ 是16。 答案是： \[ \boxed{16}. \]

解析

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布的性质确定满足概率条件的最小样本量。

解题核心思路：

  1. 中心极限定理指出，当样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量。
  2. 将题目中的概率条件转化为标准正态分布的形式，利用已知的置信水平（95%）对应的临界值（1.96），建立不等式求解最小样本量。

破题关键点：

  • 标准化处理：将样本均值的分布标准化为标准正态变量。
  • 临界值对应关系：根据95%的置信水平，确定标准正态分布的临界值为±1.96。
  • 不等式求解：通过代数变形，最终解出样本量的最小整数值。

步骤1：确定样本均值的分布

根据中心极限定理，当称量次数为$n$时，样本均值$\overline{X}_n$的分布为：
$\overline{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{0.04}{n}\right).$

步骤2：标准化概率条件

题目要求：
$P\left\{ \left| \overline{X}_n - \mu \right| < 0.1 \right\} \geq 0.95.$
将不等式标准化为标准正态变量$Z$：
$P\left\{ -\frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} < Z < \frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} \right\} \geq 0.95.$

步骤3：确定临界值

查标准正态分布表可知，当概率为95%时，对应的临界值为$z_{0.975} = 1.96$，即：
$\frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} \geq 1.96.$

步骤4：解不等式求$n$

化简不等式：
$\frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.04}{n}}} = \frac{0.1 \sqrt{n}}{0.2} = \frac{\sqrt{n}}{2} \geq 1.96,$
解得：
$\sqrt{n} \geq 3.92 \quad \Rightarrow \quad n \geq 3.92^2 \approx 15.3664.$
因此，最小整数解为$n = 16$。