题目
2.简答题3.underline(设总体)Xsim f(x;theta)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),&x>0,theta,&其他,为来自总体的一组样本，求参数theta的矩估计量和最大似然估计值.
2.简答题
3.$\underline{设总体}X\sim f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0,\\\theta,&其他,\end{cases}\theta>0未知,X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}为来自总体的一组样本，求参数\theta的矩估计量和最大似然估计值.$
题目解答
答案
**解：**
1. **矩估计：**
总体期望 $E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = \theta$。
用样本均值 $\overline{X}$ 估计 $E(X)$，得 $\hat{\theta} = \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
2. **最大似然估计：**
似然函数 $L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i}$。
取对数得 $\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
求导并令为零：$-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i = 0$，解得 $\hat{\theta} = \overline{X}$。
**答案：**
参数 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计值均为 $\boxed{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i}$。
解析
步骤 1：矩估计
总体期望 $E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = \theta$。 用样本均值 $\overline{X}$ 估计 $E(X)$，得 $\hat{\theta} = \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 2：最大似然估计
似然函数 $L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i}$。 取对数得 $\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i$。 求导并令为零：$-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i = 0$，解得 $\hat{\theta} = \overline{X}$。
总体期望 $E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = \theta$。 用样本均值 $\overline{X}$ 估计 $E(X)$，得 $\hat{\theta} = \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 2：最大似然估计
似然函数 $L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i}$。 取对数得 $\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i$。 求导并令为零：$-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i = 0$，解得 $\hat{\theta} = \overline{X}$。