假设总体 X sim N(mu, sigma^2) 则参数为 mu, sigma^2 的 最大似然估计量是(）A. overline(X), (n-1)/(n) S^2B. noverline(X), S^2C. overline(X), (n)/(n-1) S^2D. overline(X), S^2

考查要点：本题主要考查正态分布参数的最大似然估计（MLE）的计算，涉及均值$\mu$和方差$\sigma^2$的估计。

解题核心思路：

1. 均值$\mu$的估计：通过对数似然函数对$\mu$求导并令导数为零，直接得到样本均值$\overline{X}$。
2. 方差$\sigma^2$的估计：通过对数似然函数对$\sigma^2$求导并令导数为零，得到的结果为$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，需注意其与样本方差$S^2$的关系。

破题关键点：

• 区分MLE与无偏估计：最大似然估计的方差$\sigma^2$并非无偏估计，而是样本方差$S^2$乘以$\frac{n-1}{n}$。
• 选项对比：需明确选项中$\sigma^2$的表达式是否符合MLE的推导结果。

均值$\mu$的MLE推导

1. 写出似然函数：
   $L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
2. 取对数似然函数：
   $\ln L = -\frac{n}{2} \ln(2\pi \sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$
3. 对$\mu$求偏导并令导数为零：
   $\frac{\partial \ln L}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0$
   解得：
   $\hat{\mu} = \overline{X}$

方差$\sigma^2$的MLE推导

1. 对$\sigma^2$求偏导：
   $\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = 0$
2. 代入$\hat{\mu} = \overline{X}$并整理：
   $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
3. 与样本方差$S^2$的关系：
   样本方差定义为：
   $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
   因此：
   $\hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2$

选项分析

• 选项A：$\overline{X}, \frac{n-1}{n} S^2$，符合推导结果。
• 选项D：$\overline{X}, S^2$，错误，因$\sigma^2$的MLE需乘以$\frac{n-1}{n}$。
• 选项C：$\overline{X}, \frac{n}{n-1} S^2$，错误，混淆了MLE与无偏估计。
• 选项B：$n\overline{X}, S^2$，错误，均值估计错误。