2.给出由自治微分方程组(dx)/(dt)=-y+1, (dy)/(dt)=x-2所确定的动力系统.

为了分析由自治微分方程组 \[ \frac{dx}{dt} = -y + 1, \quad \frac{dy}{dt} = x - 2 \] 所确定的动力系统，我们将遵循以下步骤： 1. **找到平衡点：** 平衡点是满足 $\frac{dx}{dt} = 0$ 和 $\frac{dy}{dt} = 0$ 的点 $(x, y)$。因此，我们解方程组： \[ -y + 1 = 0 \quad \text{和} \quad x - 2 = 0. \] 从第一个方程，我们得到 $y = 1$。从第二个方程，我们得到 $x = 2$。因此，平衡点是 $(2, 1)$。 2. **线性化系统：** 为了确定平衡点的稳定性，我们将系统在平衡点附近线性化。我们首先找到向量场 $\mathbf{F}(x, y) = \begin{pmatrix} -y + 1 \\ x - 2 \end{pmatrix}$ 的雅可比矩阵。雅可比矩阵 $\mathbf{J}$ 由下式给出： \[ \mathbf{J} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(-y + 1) & \frac{\partial}{\partial y}(-y + 1) \\ \frac{\partial}{\partial x}(x - 2) & \frac{\partial}{\partial y}(x - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \] 由于雅可比矩阵是常数，它在任何点，包括平衡点 $(2, 1)$ 处都是相同的。 3. **分析雅可比矩阵的特征值：** 为了确定平衡点的稳定性，我们找到雅可比矩阵的特征值。矩阵 $\mathbf{J}$ 的特征值 $\lambda$ 是特征方程的解： \[ \det(\mathbf{J} - \lambda \mathbf{I}) = 0, \] 其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。代入 $\mathbf{J}$，我们得到： \[ \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0. \] 解 $\lambda^2 + 1 = 0$，我们得到 $\lambda = \pm i$。由于特征值是纯虚数，平衡点 $(2, 1)$ 是一个中心。这意味着解是周期性的，围绕平衡点旋转。 4. **写出最终答案：** 动力系统的平衡点是 $(2, 1)$，它是一个中心。因此，解是周期性的，平衡点是稳定的，但不是渐近稳定的。 平衡点是 $\boxed{(2, 1)}$。