设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自正态总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本，则 ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim ldotsA. chi^2(n-1)B. t(n-1)C. N(0,1)D. N(mu, (sigma^2)/(n))

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，特别是卡方分布的应用。

解题核心思路：
当总体服从正态分布时，样本方差的标准化形式 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 的分布与自由度相关的卡方分布直接相关。关键在于理解样本均值 $\overline{X}$ 的引入导致自由度减少1，从而确定平方和的分布形式。

破题关键点：

1. 样本方差的定义：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其中分母为 $n-1$ 是为了无偏估计总体方差 $\sigma^2$。
2. 平方和的自由度：由于 $\overline{X}$ 是对总体均值 $\mu$ 的估计，$\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 的自由度为 $n-1$。
3. 卡方分布的性质：标准化后的平方和 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

统计量的构造与化简：
根据题意，统计量为：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.$

分布推导：

1. 正态总体的性质：若 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 独立性：$\overline{X}$ 与 $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 独立（由正态分布的性质）。
3. 卡方分布的判定：标准化后的平方和 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。

选项分析：

• A：正确，符合卡方分布的自由度和形式。
• B：错误，t分布涉及均值与标准误的比值，与本题无关。
• C：错误，标准正态分布描述的是线性组合而非平方和。
• D：错误，描述的是均值的抽样分布，与方差无关。