题目
计算：(1)/(1)+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+... +(1)/(1+2+... +100)= ．
计算：$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+\cdots +100}=$ ．
题目解答
答案
$1\frac{99}{101}$
解析
步骤 1：识别数列的通项公式
观察数列的每一项，可以发现每一项的分母是前n项自然数的和，即第n项的分母为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。因此，数列的通项公式为$\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}$。
步骤 2：化简通项公式
将通项公式$\frac{2}{n(n+1)}$进行化简，可以写成$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$。这样，每一项都可以表示为两个分数的差。
步骤 3：求和
将数列的每一项按照步骤2中的形式展开，可以得到一个部分和的形式，即$\frac{2}{1}-\frac{2}{2}+\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2}{100}-\frac{2}{101}$。观察可以发现，除了第一项和最后一项外，中间的项都会相互抵消，因此，总和为$\frac{2}{1}-\frac{2}{101}=2-\frac{2}{101}=\frac{200}{101}$。
观察数列的每一项，可以发现每一项的分母是前n项自然数的和，即第n项的分母为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。因此，数列的通项公式为$\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}$。
步骤 2：化简通项公式
将通项公式$\frac{2}{n(n+1)}$进行化简，可以写成$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$。这样，每一项都可以表示为两个分数的差。
步骤 3：求和
将数列的每一项按照步骤2中的形式展开，可以得到一个部分和的形式，即$\frac{2}{1}-\frac{2}{2}+\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2}{100}-\frac{2}{101}$。观察可以发现，除了第一项和最后一项外，中间的项都会相互抵消，因此，总和为$\frac{2}{1}-\frac{2}{101}=2-\frac{2}{101}=\frac{200}{101}$。