题目

在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。

在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。

题目解答

答案

(1) 求恰有 90 个次品的概率：

在 1500 个产品中有 400 个次品和 1100 个正品，我们需要从中选取 200 个产品，并且恰好有 90 个次品。

该情况可以用组合数的概念表示为 ，其中 表示从 x 个元素中选取 y 个元素的组合数。

最后解得恰有90个次品的概率为0.001953。

(2)求至少有两个次品的概率：

计算没有次品的概率：

 

计算恰好有 1 个次品的概率：

则至少有两个次品的概率=1-0.000801-0.02693=0.972269。

解析

考查要点：本题属于超几何分布的概率问题，主要考查组合数的应用及补集思想的运用。

解题核心思路：

  1. 第（1）题：直接应用超几何分布公式，计算从次品和正品中分别选取指定数量的组合数之积，再除以总组合数。
  2. 第（2）题：利用补集思想，先计算“没有次品”和“恰好1个次品”的概率，再用1减去它们的和。

破题关键点：

  • 超几何分布公式：概率计算需明确“成功元素数”和“失败元素数”的选取。
  • 补集思想：当直接计算“至少”类概率复杂时，优先考虑其补集（即“至多”情况）。

第（1）题

目标：计算恰好有90个次品的概率。

确定选取方式

  • 从400个次品中选取90个：组合数为$\mathrm{C}(400,90)$。
  • 从1100个正品中选取$200-90=110$个：组合数为$\mathrm{C}(1100,110)$。

计算总组合数

  • 从1500个产品中任选200个的总组合数为$\mathrm{C}(1500,200)$。

概率公式

$P = \frac{\mathrm{C}(400,90) \times \mathrm{C}(1100,110)}{\mathrm{C}(1500,200)} \approx 0.001953$

第（2）题

目标：计算至少有2个次品的概率。

计算“没有次品”的概率

  • 全部选取正品：$\mathrm{C}(1100,200)$。
    $P_0 = \frac{\mathrm{C}(1100,200)}{\mathrm{C}(1500,200)} \approx 0.000801$

计算“恰好1个次品”的概率

  • 选取1个次品和199个正品：$\mathrm{C}(400,1) \times \mathrm{C}(1100,199)$。
    $P_1 = \frac{\mathrm{C}(400,1) \times \mathrm{C}(1100,199)}{\mathrm{C}(1500,200)} \approx 0.02693$

求补集

$P_{\text{至少2个}} = 1 - P_0 - P_1 \approx 1 - 0.000801 - 0.02693 = 0.972269$