二、(本题15分)设lim_(nto+infty)(a_(n))/(n^2)=a,lim_(nto+infty)(b_(n))/(n^2)=b.证明极限lim_(nto+infty)(1)/(n^5)sum_(k=0)^na_(k)b_(n-k)存在并求其值.
题目解答
答案
由题意，已知 $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{n^2} = a$，$\lim_{n \to +\infty} \frac{b_n}{n^2} = b$，即 $a_n \sim a n^2$，$b_n \sim b n^2$（当 $n \to \infty$）。
考虑极限 $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^5} \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$，将 $a_k$ 和 $b_{n-k}$ 代入近似表达式：
$\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \sim \sum_{k=0}^n (a k^2) (b (n-k)^2) = ab \sum_{k=0}^n k^2 (n-k)^2.$
令 $S_n = \sum_{k=0}^n k^2 (n-k)^2$，展开得：
$S_n = \sum_{k=0}^n (k^2 (n^2 - 2nk + k^2)) = n^2 \sum_{k=0}^n k^2 - 2n \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n k^4.$
利用求和公式：
$\sum_{k=0}^n k^2 \sim \frac{n^3}{3}, \quad \sum_{k=0}^n k^3 \sim \frac{n^4}{4}, \quad \sum_{k=0}^n k^4 \sim \frac{n^5}{5}.$
代入得：
$S_n \sim n^2 \cdot \frac{n^3}{3} - 2n \cdot \frac{n^4}{4} + \frac{n^5}{5} = \frac{n^5}{3} - \frac{n^5}{2} + \frac{n^5}{5} = \frac{n^5}{30}.$
因此，
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^5} \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ab S_n}{n^5} = \frac{ab}{30}.$
答案： $\boxed{\frac{ab}{30}}$
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的性质、级数求和的渐进行为分析，以及利用近似展开处理复杂求和式的能力。
解题核心思路：
- 利用已知极限条件：将$a_n$和$b_n$分别近似为$a n^2$和$b n^2$，简化求和式中的项。
- 展开并分解求和式：将$k^2(n-k)^2$展开为多项式，拆分为三个独立求和式。
- 应用求和公式：利用常见幂次求和的渐进行为（如$\sum k^2 \sim \frac{n^3}{3}$），合并后得到主项。
- 求极限：通过主项系数确定最终结果。
破题关键点：
- 渐近替换：将$a_k$和$b_{n-k}$替换为$a k^2$和$b (n-k)^2$，抓住主项。
- 展开与分解：将乘积展开为多项式，拆分求和式为易处理的形式。
- 主项提取：忽略低阶项，仅保留最高次项进行计算。
步骤1：近似替换
由$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{n^2} = a$和$\lim_{n \to +\infty} \frac{b_n}{n^2} = b$，当$n$很大时，$a_k \sim a k^2$，$b_{n-k} \sim b (n-k)^2$。因此，求和式可近似为：
$\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \sim ab \sum_{k=0}^n k^2 (n-k)^2.$
步骤2：展开乘积
将$k^2(n-k)^2$展开：
$k^2(n-k)^2 = k^2(n^2 - 2nk + k^2) = n^2 k^2 - 2n k^3 + k^4.$
步骤3：拆分求和式
原求和式分解为三个部分：
$\sum_{k=0}^n k^2(n-k)^2 = n^2 \sum_{k=0}^n k^2 - 2n \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n k^4.$
步骤4：应用渐进行为公式
利用常见求和的渐进行为：
$\sum_{k=0}^n k^2 \sim \frac{n^3}{3}, \quad \sum_{k=0}^n k^3 \sim \frac{n^4}{4}, \quad \sum_{k=0}^n k^4 \sim \frac{n^5}{5}.$
步骤5：代入并合并项
将渐进行为代入分解后的求和式：
$\begin{aligned}S_n &\sim n^2 \cdot \frac{n^3}{3} - 2n \cdot \frac{n^4}{4} + \frac{n^5}{5} \\&= \frac{n^5}{3} - \frac{n^5}{2} + \frac{n^5}{5} \\&= \frac{10n^5 - 15n^5 + 6n^5}{30} \\&= \frac{n^5}{30}.\end{aligned}$
步骤6：计算极限
将结果代入原式：
$\lim_{n \to +\infty} \frac{ab S_n}{n^5} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ab \cdot \frac{n^5}{30}}{n^5} = \frac{ab}{30}.$