题目
6.设总体 sim b(1,p) ,X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(1)求(X1,X2,···,Xn )的分布律.-|||-(2)求 sum _(i=1)^n(X)_(i) 的分布律.-|||-(3)求E(X),D(X),E(S^2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求(X1,X2,···,Xn )的分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自总体 $x\sim b(1,p)$ 的样本，且相互独立，因此每个Xi的分布律为 $P\{ {X}_{i}={x}_{i}\} ={p}^{x}{(1-p)}^{1-x}$ ,${x}_{i}=0$, 1.因此(X1,X2,···,Xn )的分布律为 $P\{ {X}_{1}={X}_{1}$ ${X}_{2}={x}_{2}$ ,···· ${X}_{n}={x}_{n}\} $ = $\prod _{i=1}^{n}P({x}_{i}={x}_{i})=\prod _{i=1}^{n}[ {(1-p)}^{1-x}] ={p}^{k}(1-p)^{n-k}$ ,其中k为样本中1的个数。
步骤 2：求 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,···,X2,···,Xn相互独立，且有 ${X}_{i}\sim b(1,p)$ i=1 ,2,···,n,故 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim $ b(n,p),其分布律为 $P\{ \sum _{k=1}^{n}{X}_{i}=k\} ={(\dfrac {n}{k})}^{n}{(1-p)}^{n-k}$ , k=0 ,1,2,···,n.
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于总体 $x\sim b(1,p)$ E(X)=p D(X)=p(1-p) ,故有 $E(\overline {X})=p$ , $D(\overline {X})=\dfrac {p(1-p)}{n}$ , $E({S}^{2})=D(X)=p(1-p)$
由于X1,X2,···,Xn是来自总体 $x\sim b(1,p)$ 的样本，且相互独立，因此每个Xi的分布律为 $P\{ {X}_{i}={x}_{i}\} ={p}^{x}{(1-p)}^{1-x}$ ,${x}_{i}=0$, 1.因此(X1,X2,···,Xn )的分布律为 $P\{ {X}_{1}={X}_{1}$ ${X}_{2}={x}_{2}$ ,···· ${X}_{n}={x}_{n}\} $ = $\prod _{i=1}^{n}P({x}_{i}={x}_{i})=\prod _{i=1}^{n}[ {(1-p)}^{1-x}] ={p}^{k}(1-p)^{n-k}$ ,其中k为样本中1的个数。
步骤 2：求 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,···,X2,···,Xn相互独立，且有 ${X}_{i}\sim b(1,p)$ i=1 ,2,···,n,故 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim $ b(n,p),其分布律为 $P\{ \sum _{k=1}^{n}{X}_{i}=k\} ={(\dfrac {n}{k})}^{n}{(1-p)}^{n-k}$ , k=0 ,1,2,···,n.
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于总体 $x\sim b(1,p)$ E(X)=p D(X)=p(1-p) ,故有 $E(\overline {X})=p$ , $D(\overline {X})=\dfrac {p(1-p)}{n}$ , $E({S}^{2})=D(X)=p(1-p)$