题目
设x_(1),x_(2),...,x_(n)为正态总体N(mu,4)的一个样本，overline(x)表示样本均值，则mu的置信度为1-alpha的置信区间为(）.A. (overline(x)-u_(alpha/2)(4)/(sqrt(n)),overline(x)+u_(alpha/2)(4)/(sqrt(n)))B. (overline(x)-u_(1-alpha/2)(2)/(sqrt(n)),overline(x)+u_(alpha/2)(2)/(sqrt(n)))C. (overline(x)-u_(alpha)(2)/(sqrt(n)),overline(x)+u_(alpha)(2)/(sqrt(n)))D. (overline(x)-u_(alpha/2)(2)/(sqrt(n)),overline(x)+u_(alpha/2)(2)/(sqrt(n)))
设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为正态总体$N(\mu,4)$的一个样本，$\overline{x}$表示样本均值，则$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为(）.
A. $(\overline{x}-u_{\alpha/2}\frac{4}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha/2}\frac{4}{\sqrt{n}})$
B. $(\overline{x}-u_{1-\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}})$
C. $(\overline{x}-u_{\alpha}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha}\frac{2}{\sqrt{n}})$
D. $(\overline{x}-u_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}})$
题目解答
答案
D. $(\overline{x}-u_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{n}})$
解析
步骤 1：确定总体参数和样本信息
已知正态总体 $N(\mu, 4)$，其中总体均值为 $\mu$，总体方差为 $4$，因此总体标准差为 $\sigma = 2$。样本均值为 $\overline{x}$，样本容量为 $n$。
步骤 2：计算置信区间
正态总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间由下式给出：
\[ \left( \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。将 $\sigma = 2$ 代入公式，我们得到：
\[ \left( \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}} \right) \]
步骤 3：选择正确的选项
在给定的选项中，正确的是：
\[ \boxed{D} \]
选项 D 正确地表示了正态总体 $N(\mu, 4)$ 的均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间。
已知正态总体 $N(\mu, 4)$，其中总体均值为 $\mu$，总体方差为 $4$，因此总体标准差为 $\sigma = 2$。样本均值为 $\overline{x}$，样本容量为 $n$。
步骤 2：计算置信区间
正态总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间由下式给出：
\[ \left( \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。将 $\sigma = 2$ 代入公式，我们得到：
\[ \left( \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}} \right) \]
步骤 3：选择正确的选项
在给定的选项中，正确的是：
\[ \boxed{D} \]
选项 D 正确地表示了正态总体 $N(\mu, 4)$ 的均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间。