设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则下列结论一定成立的是（ ）。A.D(XY)=D(X)D(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与Y相互独立D.X与Y不相互独立

考查要点：本题主要考查协方差、方差的性质以及随机变量独立性的关系。

解题核心思路：

1. 协方差为零的条件（即$E(XY)=E(X)E(Y)$）说明随机变量$X$和$Y$不相关，但不必然独立（除非满足特定分布条件）。
2. 方差的性质：当协方差为零时，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$必然成立；而其他选项的结论需要额外条件（如独立性）才能成立。

破题关键点：

• 明确协方差为零与独立性的区别：零协方差仅说明无线性相关关系，但可能存在非线性依赖，因此独立性无法确定。
• 直接应用方差公式推导选项B的正确性。

条件分析：
由$E(XY)=E(X)E(Y)$可知，协方差$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，即$X$与$Y$不相关。

选项逐一分析：

1. 选项A：$D(XY)=D(X)D(Y)$

   • 仅当$X$与$Y$独立时，才有$D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]^2D(Y)+[E(Y)]^2D(X)$。
   • 题目中仅给出零协方差，无法保证独立性，因此不一定成立。

2. 选项B：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

   • 根据方差性质：
     $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).$
   • 因$Cov(X,Y)=0$，代入得$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，必然成立。

3. 选项C/D：$X$与$Y$是否独立

   • 零协方差仅说明不相关，但独立性要求更强（需概率分布满足乘积关系）。
   • 题目未给出分布信息，因此无法确定独立性，两个选项均不一定成立。