题目
某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为sigma ^2=0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对alpha =0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。(Z_(0.05)=1.645,Z_(0.025)=1.96)
某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为$$\sigma ^2=0.04$$，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对$$\alpha =0.05$$求出滚珠的平均直径的区间估计。
($$Z_{0.05}=1.645,Z_{0.025}=1.96$$)
题目解答
答案
由题意得：$$\overline{x}=15,\sigma ^2=0.04,\alpha =0.05,n=9$$
则滚珠的平均直径的$$95%$$%的区间估计为
$$[\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} },\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} }]$$$$=[15-\frac{0.2}{3} \times 1.96,15+\frac{0.2}{3} \times 1.96]$$$$=[14.869,15.131]$$.
解析
步骤 1：确定已知参数
根据题目，已知滚珠直径的方差$$\sigma ^2=0.04$$，样本容量$$n=9$$，样本均值$$\overline{x}=15$$，显著性水平$$\alpha =0.05$$。由于是求平均直径的区间估计，且已知方差，因此使用正态分布的区间估计方法。
步骤 2：计算标准误差
标准误差$$SE$$为$$\frac{\sigma }{\sqrt n}$$，其中$$\sigma$$是总体标准差，$$n$$是样本容量。根据题目，$$\sigma =\sqrt{0.04}=0.2$$，因此$$SE=\frac{0.2}{\sqrt 9}=\frac{0.2}{3}$$。
步骤 3：确定临界值
由于是双侧检验，临界值为$$Z_{\frac{\alpha }{2} }$$，根据题目给出的$$Z_{0.025}=1.96$$，因此临界值为1.96。
步骤 4：计算区间估计
根据公式$$[\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} },\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} }]$$，代入已知值，得到$$[15-\frac{0.2}{3} \times 1.96,15+\frac{0.2}{3} \times 1.96]$$，计算得到区间估计为$$[14.869,15.131]$$。
根据题目，已知滚珠直径的方差$$\sigma ^2=0.04$$，样本容量$$n=9$$，样本均值$$\overline{x}=15$$，显著性水平$$\alpha =0.05$$。由于是求平均直径的区间估计，且已知方差，因此使用正态分布的区间估计方法。
步骤 2：计算标准误差
标准误差$$SE$$为$$\frac{\sigma }{\sqrt n}$$，其中$$\sigma$$是总体标准差，$$n$$是样本容量。根据题目，$$\sigma =\sqrt{0.04}=0.2$$，因此$$SE=\frac{0.2}{\sqrt 9}=\frac{0.2}{3}$$。
步骤 3：确定临界值
由于是双侧检验，临界值为$$Z_{\frac{\alpha }{2} }$$，根据题目给出的$$Z_{0.025}=1.96$$，因此临界值为1.96。
步骤 4：计算区间估计
根据公式$$[\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} },\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt n} Z_{\frac{\alpha }{2} }]$$，代入已知值，得到$$[15-\frac{0.2}{3} \times 1.96,15+\frac{0.2}{3} \times 1.96]$$，计算得到区间估计为$$[14.869,15.131]$$。