题目
设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P -1AP） T属于特征值λ的特征向量是（ ） A. P -1α B. P Tα C. Pα D. （P -1） Tα
设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P
-1AP）
T属于特征值λ的特征向量是（ ）
A. P -1α
B. P Tα
C. Pα
D. （P -1） Tα
A. P -1α
B. P Tα
C. Pα
D. （P -1） Tα
题目解答
答案
已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，
则：Aα=λα，（P -1AP） T=P TA（P T） -1，
等式两边同时乘以P Tα，即：
（P -1AP） T（P Tα）=P TA[（P T） -1P T]α=P TAα=λ（P Tα），
故选：B．
则：Aα=λα，（P -1AP） T=P TA（P T） -1，
等式两边同时乘以P Tα，即：
（P -1AP） T（P Tα）=P TA[（P T） -1P T]α=P TAα=λ（P Tα），
故选：B．
解析
步骤 1：特征向量定义
已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，根据特征向量的定义，有Aα=λα。
步骤 2：矩阵转置和逆矩阵的性质
根据矩阵的性质，有（P ^{-1}AP） ^{T}=P ^{T}A（P ^{T}） ^{-1}。
步骤 3：计算（P ^{-1}AP） ^{T}的特征向量
等式两边同时乘以P ^{T}α，即：
（P ^{-1}AP） ^{T}（P ^{T}α）=P ^{T}A[（P ^{T}） ^{-1}P ^{T}]α=P ^{T}Aα=λ（P ^{T}α）。
因此，P ^{T}α是矩阵（P ^{-1}AP） ^{T}属于特征值λ的特征向量。
已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，根据特征向量的定义，有Aα=λα。
步骤 2：矩阵转置和逆矩阵的性质
根据矩阵的性质，有（P ^{-1}AP） ^{T}=P ^{T}A（P ^{T}） ^{-1}。
步骤 3：计算（P ^{-1}AP） ^{T}的特征向量
等式两边同时乘以P ^{T}α，即：
（P ^{-1}AP） ^{T}（P ^{T}α）=P ^{T}A[（P ^{T}） ^{-1}P ^{T}]α=P ^{T}Aα=λ（P ^{T}α）。
因此，P ^{T}α是矩阵（P ^{-1}AP） ^{T}属于特征值λ的特征向量。