设A为n阶矩阵，且A^2-2A-3E=0，求(A+5E)^-1.<|im_end|>段落格式字体 字号 B I U A Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 1

本题考查矩阵的运算以及逆矩阵的求解。解题思路是通过已知条件$A^{2}-2A - 3E = 0$，设出$(A + 5E)^{-1}$的形式，然后根据矩阵乘法等于单位矩阵$E$的条件，展开并代入已知条件，得到关于系数的方程组，解方程组求出系数，进而得到$(A + 5E)^{-1}$的表达式。

下面进行详细的计算：

1. 由已知$A^{2}-2A - 3E = 0$，可得$A^{2}=2A + 3E$。
2. 设$(A + 5E)^{-1}=aA + bE$，其中$a$，$b$为待求系数。
3. 根据逆矩阵的定义，有$(A + 5E)(aA + bE)=E$。
4. 展开上式：
   • $(A + 5E)(aA + bE)=aA^{2}+(b + 5a)A + 5bE$。
   • 将$A^{2}=2A + 3E$代入上式：
   • $aA^{2}+(b + 5a)A + 5bE=a(2A + 3E)+(b + 5a)A + 5bE=(b + 7a)A + (3a + 5b)E$。
5. 因为$(A + 5E)(aA + bE)=E$，所以$(b + 7a)A + (3a + 5b)E = E$。
   • 由于$A$是$n$阶矩阵，要使上式成立，则有$\begin{cases}b + 7a = 0 \\3a + 5b = 1\end{cases}$。
6. 解方程组：
   • 由$b + 7a = 0$可得$b=-7a$。
   • 将$b=-7a$代入$3a + 5b = 1$中，得到$3a+5\times(-7a)=1$。
   • 即$3a - 35a = 1$，$-32a = 1$，解得$a = -\frac{1}{32}$。
   • 将$a = -\frac{1}{32}$代入$b=-7a$，可得$b=\frac{7}{32}$。
7. 所以$(A + 5E)^{-1}=\frac{1}{32}(-A + 7E)=\frac{1}{32}(7E - A)$。