题目
47 填空(2分)设随机变量X~N(1,3²),Y~N(0,4²),X与Y的相关系数为ρ=-0.5，设Z=(1)/(3)X+(1)/(2)Y，则E(3Z)=____。
47 填空(2分)设随机变量X~N(1,3²),Y~N(0,4²),X与Y的相关系数为ρ=-0.5，设$Z=\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y$，则E(3Z)=____。
题目解答
答案
已知 $X \sim N(1, 3^2)$ 和 $Y \sim N(0, 4^2)$，则 $E(X) = 1$，$E(Y) = 0$。
由期望的线性性质，
\[
E(Z) = E\left(\frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y\right) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{3}
\]
因此，
\[
E(3Z) = 3E(Z) = 3 \times \frac{1}{3} = 1
\]
答案：$\boxed{1}$
解析
本题考查正态分布的期望以及期望的线性性质。解题思路如下：
- 首先根据正态分布的性质确定随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望。
- 然后利用期望的线性性质求出随机变量 $Z$ 的期望。
- 最后根据期望的性质求出 $E(3Z)$ 的值。
具体计算过程如下：
- 已知随机变量 $X\sim N(1,3^{2})$，根据正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的期望为 $\mu$，可得 $E(X)=1$；随机变量 $Y\sim N(0,4^{2})$，同理可得 $E(Y)=0$。
- 因为 $Z = \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（其中 $a,b$ 为常数），可得：
$E(Z)=E\left(\frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y\right)=\frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y)$
将 $E(X)=1$，$E(Y)=0$ 代入上式可得：
$E(Z)=\frac{1}{3}\times 1 + \frac{1}{2}\times 0=\frac{1}{3}$ - 又因为 $E(3Z)=3E(Z)$，将 $E(Z)=\frac{1}{3}$ 代入可得：
$E(3Z)=3\times\frac{1}{3}=1$