题目
已知总体X sim N(mu, sigma^2)，且sigma^2 已知，样本均值为overline(X)，样本大小为n，则mu的置信区间计算公式为:A. (overline(X) pm Z_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n)))B. (overline(X) pm Z_(alpha/2) (S)/(sqrt(n)))C. (overline(X) pm t_(alpha/2) (S)/(sqrt(n)))D. (overline(X) pm t_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n)))
已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且$\sigma^2$ 已知，样本均值为$\overline{X}$，样本大小为$n$，则$\mu$的置信区间计算公式为:
A. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
B. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$
C. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$
D. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
题目解答
答案
A. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
解析
步骤 1：确定总体分布和已知条件
总体$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，且总体方差$\sigma^2$已知。样本均值为$\overline{X}$，样本大小为$n$。
步骤 2：选择合适的统计量
由于总体方差已知，我们使用正态分布的临界值$Z_{\alpha/2}$来构造置信区间。样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的点估计。
步骤 3：构造置信区间
置信区间由以下公式给出： \[ \overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\overline{X}$是样本均值， - $Z_{\alpha/2}$是与置信水平相对应的正态分布的临界值， - $\sigma$是总体标准差， - $n$是样本大小。
步骤 4：分析选项
A. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ 这个选项是正确的，因为它使用了正态分布的临界值$Z_{\alpha/2}$和总体标准差$\sigma$。 B. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了样本标准差$S$而不是总体标准差$\sigma$。 C. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了t分布的临界值$t_{\alpha/2}$和样本标准差$S$。t分布用于总体方差未知的情况。 D. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了t分布的临界值$t_{\alpha/2}$和总体标准差$\sigma$。t分布用于总体方差未知的情况。
总体$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，且总体方差$\sigma^2$已知。样本均值为$\overline{X}$，样本大小为$n$。
步骤 2：选择合适的统计量
由于总体方差已知，我们使用正态分布的临界值$Z_{\alpha/2}$来构造置信区间。样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的点估计。
步骤 3：构造置信区间
置信区间由以下公式给出： \[ \overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\overline{X}$是样本均值， - $Z_{\alpha/2}$是与置信水平相对应的正态分布的临界值， - $\sigma$是总体标准差， - $n$是样本大小。
步骤 4：分析选项
A. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ 这个选项是正确的，因为它使用了正态分布的临界值$Z_{\alpha/2}$和总体标准差$\sigma$。 B. $(\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了样本标准差$S$而不是总体标准差$\sigma$。 C. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了t分布的临界值$t_{\alpha/2}$和样本标准差$S$。t分布用于总体方差未知的情况。 D. $(\overline{X} \pm t_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ 这个选项是不正确的，因为它使用了t分布的临界值$t_{\alpha/2}$和总体标准差$\sigma$。t分布用于总体方差未知的情况。