题目
设二维正态随机向量,Y)approx N(1,1,(1)^2,(2)^2,0)，则,Y)approx N(1,1,(1)^2,(2)^2,0)=（）( A ) -3 ; ( B ) -7 ; ( C ) -2 ;（D）11.
设二维正态随机向量
，则
=（）
( A ) -3 ; ( B ) -7 ; ( C ) -2 ;（D）11.
题目解答
答案
=0,则X与Y相互独立，则那么x^2与y也独立，因为独立变量的连续函数仍然独立
故选A -3。
解析
步骤 1：理解题目
题目给出二维正态随机向量$X,Y)\sim N(1,1,{1}^{2},{2}^{2},0)$，其中$X$和$Y$的均值分别为$1$，方差分别为$1$和$4$，协方差为$0$。这意味着$X$和$Y$是独立的。题目要求计算$(x{x}^{6}{x}^{6}-{x}^{-2})400$，但这个表达式看起来有误，可能是要求计算$Cov(X-Y,XY)$。
步骤 2：计算$Cov(X-Y,XY)$
根据协方差的定义，$Cov(X-Y,XY) = E[(X-Y)XY] - E[X-Y]E[XY]$。由于$X$和$Y$独立，$E[X-Y] = E[X] - E[Y] = 1 - 1 = 0$，所以$Cov(X-Y,XY) = E[(X-Y)XY]$。进一步展开，$E[(X-Y)XY] = E[X^2Y] - E[XY^2]$。由于$X$和$Y$独立，$E[X^2Y] = E[X^2]E[Y]$，$E[XY^2] = E[X]E[Y^2]$。根据方差的定义，$E[X^2] = Var(X) + E[X]^2 = 1 + 1^2 = 2$，$E[Y^2] = Var(Y) + E[Y]^2 = 4 + 1^2 = 5$。因此，$E[X^2Y] = 2 \times 1 = 2$，$E[XY^2] = 1 \times 5 = 5$。所以，$Cov(X-Y,XY) = 2 - 5 = -3$。
步骤 3：选择正确答案
根据计算结果，$Cov(X-Y,XY) = -3$，所以正确答案是(A) -3。
题目给出二维正态随机向量$X,Y)\sim N(1,1,{1}^{2},{2}^{2},0)$，其中$X$和$Y$的均值分别为$1$，方差分别为$1$和$4$，协方差为$0$。这意味着$X$和$Y$是独立的。题目要求计算$(x{x}^{6}{x}^{6}-{x}^{-2})400$，但这个表达式看起来有误，可能是要求计算$Cov(X-Y,XY)$。
步骤 2：计算$Cov(X-Y,XY)$
根据协方差的定义，$Cov(X-Y,XY) = E[(X-Y)XY] - E[X-Y]E[XY]$。由于$X$和$Y$独立，$E[X-Y] = E[X] - E[Y] = 1 - 1 = 0$，所以$Cov(X-Y,XY) = E[(X-Y)XY]$。进一步展开，$E[(X-Y)XY] = E[X^2Y] - E[XY^2]$。由于$X$和$Y$独立，$E[X^2Y] = E[X^2]E[Y]$，$E[XY^2] = E[X]E[Y^2]$。根据方差的定义，$E[X^2] = Var(X) + E[X]^2 = 1 + 1^2 = 2$，$E[Y^2] = Var(Y) + E[Y]^2 = 4 + 1^2 = 5$。因此，$E[X^2Y] = 2 \times 1 = 2$，$E[XY^2] = 1 \times 5 = 5$。所以，$Cov(X-Y,XY) = 2 - 5 = -3$。
步骤 3：选择正确答案
根据计算结果，$Cov(X-Y,XY) = -3$，所以正确答案是(A) -3。